Đề thi olympic lớp 6 năm học 2013 - 2014 môn thi : toán thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6
TRƯỜNG THCS BÌNH MINH Năm học 2013 - 2014
 Môn thi : Toán
 Thời gian làm bài : 120 phút
 (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (5 điểm)
 a) Tìm x biết (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 100) = 5750.
 b) Tìm x; y Z biết 2x + 124 = 5y .
 c) Tìm kết quả của phép nhân A = . 
Câu 2 : (4 điểm)
 a) Chứng minh rằng : là một số tự nhiên.
 b) Cho 7. Chứng tỏ rằng 2a + 3b + c 7
 c) Cho các số tự nhiên từ 11 đến 21 được viết theo thứ tự tùy ý, sau đó đem cộng mỗi số đó với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng . Chứng minh rằng trong các tổng nhận được bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.
Câu 3 : (2 điểm) Cho S = . Chứng minh rằng 3 < S < 8.
Câu 4 : (4 điểm) Tìm 3 số có tổng bằng 420, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai và bằng số thứ ba.
Câu 5 : (5 điểm) 
 a) Cho góc xOy bằng 800, góc xOz bằng 300 . Tính số đo góc yOz ?
 b) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a. Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD. 
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
TRƯỜNG THCS BÌNH MINH Năm học 2013 - 2014
 Môn thi : Toán - Lớp 6
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(5 điểm)
a) Ta có (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 100) = 5750.
 => 100x + 101.50 = 5750 
 => 100x = 700 = > x = 7
b) +) x = 0 => 20 + 124 = 5y => 125 = 5y
 => 53 = 5y => y = 3
 +) x0 => 2x + 124 là số chẵn => 2x + 124 = 5y là vô lý
 Vậy x = 0 và y = 5 thì thỏa mãn đề bài.
c) A = . = A = .(1 - 1)
 = - 
 = 54
0,75
0,75
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
1,0
Câu 2
(4 điểm)
a) Chứng minh : 102014 + 8 8 
 102014 + 8 9 
 Mà (8; 9) = 1 => 102014 + 8 72 
 => là một số tự nhiên.
b) 7 => 100a + 10b + c 7 => 98a + 7b + ( 2a + 3b + c) 7 
 => 7(14a + b) + ( 2a + 3b + c) 7
 Mà 7(14a + b) 7 => ( 2a + 3b + c) 7 
c) Khi xét 1 số tự nhiên khi chia cho 10 
 => Có thể xảy ra 10 trường hợp về số dư (1) 
 Mà các số tự nhiên từ 11 --> 21 gồm (21 - ) + 1 = 11 số.
 Biết mỗi số cộng với đúng số thứ tự của nó được 1 tổng 
 => Có 11 tổng , mỗi tổng đều có giá trị là 1 số tự nhiên (2)
 Từ (1) và (2) => Trong 11 tổng trên chắc chắn có 2tổng có cùng số dư khi chia cho 11 
 => Luôn hai tổng có hiệu chia hết cho 10.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
(2 điểm)
Xét tổng S = có 30 số hạng
Mà 
 => (1)
Lại có : 
 => S S < 8 (2)
Từ (1) và (2) => 3 < S < 8.
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 4
(4 điểm)
Lập luận => Số thứ nhât bằng số thứ hai.
 Số thứ ba bằng số thứ hai.
=> Tổng của ba số bằng số thứ hai
=> Số thứ hai là : 420 : = 132 
=> Số thứ nhất là : 
=> Số thứ nhất là : 
0,75
0,75
0,75
0,75
0,5
0,5
Câu 5
(5 điểm)
a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mp đối nhau bờ chứa tia Ox :
 Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz z
x
y
O
 => góc yOz = 800 + 300 = 1100
 +) TH2: Hai tia Oy và Oz cùng nằm trên một nửa mp bờ chứa tia Ox 
 O
y
z
x
Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy .
=> góc yOz = 800 - 300 = 500
b) +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a.
 => Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
 +) TH2: Trong hai nửa mp đói nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D
 => Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD.
 +) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp còn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D
 => Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD.
 Suy ra điều phải chứng minh .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
TM NHÀ TRƯỜNG NGƯỜI RA ĐỀ