Đề thi olympic lớp 7 cho năm học 2013 - 2014 môn thi : toán 7

phòng Giáo dục & Đào tạo
Đề chính thức
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 7
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1: ( 5 điểm)
 a) Cho a, b, c là ba số thực dương, thoả món điều kiện: .
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức .
 b) Cho tỉ lệ thức với . Chứng minh:
 
Cõu 2. (6điểm)
a) Cho ===
CMR: Biểu thức sau cú giỏ trị nguyờn
 A=+++
b) Tỡm x biết: x2 – 5x +6 = 0
c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A.
Cõu 3. (2 điểm)
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
Cõu 4. (2 điểm)
 Tỡm hai số dương biết tổng, hiệu, tớch của chỳng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16. 
Cõu 5. (5 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, cú gúc C=300, đường cao AH. Trờn đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuụng gúc với AD. Chứng minh:
a) Tam giỏc ABD là tam giỏc đều.
b) AH = CE.
c) EH song song với AC.
------------------------ Hết --------------------------

(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)






PHềNG GD&ĐT THANH OAI

HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP 7
NĂM HỌC 2013-2014
MễN THI: TOÁN 7
 Thời gian làm bài:120 phỳt

Cõu 1( 5điểm)
Nội dung
Điểm
Cõu a(3 điểm)

Vỡ a,b,c là cỏc số dương nờn a+b+c0
 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ,ta cú:
= = 1
mà = 2
=> =2
Vậy B ==8





1



1

1


Cõub(2 điểm)
 

Từ
 


0.5 đ

1.5đ
Cõu 2 ( 6điểm)


Cõu a ( 2 điểm)
Ta cú ==== 
 Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 
 3t = x+y+z
Từ đú HS suy ra được x+y = z+t; y+z = (t+x)
 z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đú tớnh được A = 4 
 Vậy A cú giỏ trị nguyờn

0.5 đ





1.5đ
Cõu b) (2 điểm) Tỡm được x =3, x = 2
Cõu c ( 2 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
 Theo đề bài ta cú: a : b : c = (1) 0.25 đ 
 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0.25 đ 
 Từ (1) = k 0.25 đ
 Do đú (2) 0.25 đ 
 k = 180 và k = 
 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. 0.5 đ
 Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237. 
 + Với k =, ta được: a = ; b =; c =
 Khi đú ta cú sú A =+( ) + () = . 0.5 đ 
 Cõu 3
(2điểm)



 A= 2 khi và chỉ khi và 

Vậy Min(A) = 2 khi x=2014


0.5đ

0.5đ

0.5đ
0.5đ

Cõu 4 ( 2 điểm) Gọi 2 số đú là a , b . Ta cú :
 30( a +b ) = 120( a –b ) = 16ab
 Từ điều kiện : 30( a +b ) = 120( a –b ) , tỡm được 
 Từ điều kiện : 120( a –b ) = 16ab , tỡm được 
 Từ đú tỡm được : a = 5 ; b = 3 .


 0,5 đ

0,25 đ

0,25đ
 1,0 đ


 Chứng minh:
a) vẽ hỡnh làm đỳng cõu a 2đ
 Tam giỏc ABD cú AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nờn tam giỏc ABD cõn ở A.
Lại cú : B = 900 – 300 = 600 nờn tam giỏc ABD là tam giỏc đều.

b) 1đ

 (cạnh huyền –gúc nhọn)
 Do đú AH=CE
c) 2đ
(cmt)nờn HC=EA
cõn ở D vỡ cú 
 cõn ở D.
Hai tam giỏc cõn ADC và DEH cú
 (hai gúc đối đỉnh).do đú Ở vị trớ so le trong, suy ra EH // AC. 
*Chỳ ý :Học sinh cú thể giải cỏch khỏc, nếu chớnh xỏc thỡ vẫn cho điểm.