Đề thi olympic lớp 8 năm học 2013 – 2014 môn thi: toán thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Trường Thcs Bích Hòa

TRƯỜNG THCS BÍCH HềA
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2013 – 2014
Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 120 phỳt
( khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1:( 4 điểm)
Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: 
 x8n + x4n +1
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ 
 A = 4a2b2 – (a2 + b2 - c2)2 luụn luụn dương.
Cõu 2:( 3 điểm)
Tỡm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x + 2 thỡ dư 3, chia cho x – 3 thỡ dư 8 và chia cho (x + 2)(x – 3) thỡ được thương là 2x và cũn dư.
Xỏc định m để x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z 
Cõu 3:( 3 điểm)
Tỡm cỏc số x, y, z biết : 
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2013 + y2013 + z2013 = 32013
Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món:
 sao cho tớch x.y đạt giỏ trị lớn nhất
Cõu 4: ( 3 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Cho a, b và a2000 + b2000 = a2001+ b2001 = a2002+ b2002
 Tớnh a2001+ b2001
Câu 5: (7 điểm):
 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
Tứ giác AMDB là hình gì?
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
TRƯỜNG THCS BÍCH HềA
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2013 – 2014
Mụn thi: Toỏn
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
( 4 điểm)
x8n + x4n +1 = x8n +2 x4n +1 - x4n
 = (x4n + x2n +1)( x4n - x2n +1)
 = [(x4n + 2x2n +1) - x2n] (x4n - x2n +1)
 = (x2n + xn +1)( x2n - xn +1) (x4n - x2n +1)
2,0 đ
1 đ
1 đ
b) 
Ta cú A = [2ab + (a2 + b2 - c2)][2ab – (a2 + b2 - c2)]
 = [(a + b)2 – c2][c2 – (a – b)2]
 = (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b).
Do a, b, c là ba cạnh của một tam giỏc nờn a, b, c > 0 và theo bất đẳng thức trong tam 
giỏc ta cú a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > 0 từ đú suy ra điều phải chứng minh
2 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
0,5 đ
Câu 2
(4 điểm)
a) 
Vỡ f(x) chia cho x + 2 thỡ dư 3 => f(-2) = 3
 f(x) chia cho x – 3 thỡ dư 8 => f(3) = 8 
Vì đa thức (x+2)(x- 3) có bậc bằng hai nên dư có bậc nhỏ hơn 2.
 Do đó dư của f(x) chia cho (x+2)(x- 3) phải có dạng R(x) = ax+b
f(x) = (x+2)(x-3).2x +(ax + b) 
 Ta có f(-2) = -2a + b = 3 ; f(3) = 3a + b = 8 
a = 1 và b = 5
 Vậy f(x) = (x+2)(x- 3)2x + x + 5 = 2x3 -2x2 -11x + 5
2 đ
0,5 đ
0,5
0,5
0,25
0.25
Gọi thương của phộp chia x3 + y3 + z3 + mxyz cho x + y + z là đa thức Q.
Ta cú: x3 + y3 + z3 + mxyz = ( x + y + z ).Q (1)
Vỡ (1) luụn đỳng với mọi x, y, z R nờn
Chọn x = 1; y = 1; z = - 2 thay vào (1) ta được:
1 + 1 – 8 - 2m = 0 => m = - 3
2 đ
1 đ
1 đ
Cõu 3
( 3 điểm)
a)
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0	
x2009 = y2009 = z2009	
Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3	
1,5đ
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
b)
Dấu bằng xảy ra khi (x;y) 
Kết luận....
1,5 đ
1 đ
0,5 đ
Cõu 4
( 3 điểm)
a. 
Từ: a + b + c = 1 	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
1,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) 
(a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
1,5 đ
0,5đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Cõu 4
( 6 điểm)
 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. 
PO là đường trung bình của tam giác CAM.
 AM//PO
tứ giác AMDB là hình thang. 
Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
 Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 
 Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 
 nên không đổi. 
Nếu thì 
Nếu thì do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 
do đó BC = 4 (cm)
 CD = 3 (cm) 
1 đ
2 đ
1 đ
1 đ
1 đ
2 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4 (7 điểm):
 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
Tứ giác AMDB là hình gì?
Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 4(7đ)
 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. 
PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO
tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
 Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
 nên không đổi. (1đ)
Nếu thì 
Nếu thì 1đ
do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
 CD = 3 (cm) 0,5đ