Đề thi olympic lớp 8 Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Trường Thcs Cao Dương

phòng GD& Đt Thanh oai
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
Đề thi olympic lớp 8
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm ) 
Giải cỏc phương trỡnh: 
a, (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
b, 
2. Giải bất phương trỡnh: 
Cõu 2 ( 5 điểm ) 
	1. Tỡm dư của phộp chia đa thức x27 + x9 + x3 + x cho đa thức x2 - 1
2. Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đú b và c là cỏc số nguyờn. Biết rằng đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tớnh P(1)
Cõu 3 ( 2 điểm ) 
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của :
	A= biết a, b, c lớn hơn 0 và a + b + c = 1
Cõu 4 ( 7 điểm ): Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. 
 a) Tớnh tổng 
b) Gọi Ai là phõn giỏc của tam giỏc ABC; im, in thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: .
__________________________________________________________






phòng GD& Đt Thanh oai
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán Lớp 8


Cõu
Nội dung
Điểm

Cõu 1
(6điểm)

a, (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
x = -1, x = 12
 b (1)
ĐKXĐ: x ≠ - 4; - 5; - 6; - 7
(1)
 

x = 2 hoặc x = - 13

2. Xột hiệu : (I) ( đk: x ≠ 1)
 (I) 
…. 


2,0đ.


0,5đ.
.
0,5đ.

1,0đ




1,0đ.

1,0đ.

Cõu 2
(6điểm)

1. x27 + x9 + x3 + x = x27 – x + x9 – x + x3 - x + 4x
 = x(x26 - 1) + x(x8 - 1) + x(x2 - 1) + 4x
… x27 + x9 + x3 + x chia cho 4x 

2. x4 + 6x2 + 25 =(x2 + 2x + 5)(x2 - 2x + 5) 
 3x4 + 4x2 + 28x + 5 = (3x2 + 6x + 1)(x2 - 2x + 5) 
Vỡ cỏc đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x) = x2 + bx + c nờn P(x) là nhõn tử chung bậc hai của hai đa thức trờn, nờn P(x) = x2 - 2x + 5
 	P(1) = 4 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.

0,75 đ.
0,75 đ.


1đ

0,5đ

Cõu 3
(2điểm)

A = (a + b + c) = 
 = 
Ta lại cú (x - y)2 0 
 x2 + y2 2xy
 (*)
Từ (*) => A = 3 + 2 + 2 + 2 = 9
Vậy minA = 9 khi a = b = c = 




1,0đ.




0,25đ.


0,5đ.

0,25

Cõu 4
(7điểm)
Vẽ hỡnh đỳng

 a) 
Tương tự: ; 
 b) Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, abi, aic:
 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
-Chứng minh được gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC’ 
- Xột 3 điểm B, C, D ta cú: BD BC + CD 
-BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 


	 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC
 AB = AC = BC ABC đều)
 
1,0đ.














1,0đ.

1,0đ.




1,0đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ 

0,25đ

0,25đ


0,25đ


0,5đ

0,25đ.