Đề thi olympic môn thi toán lớp 7 năm học 2013 – 2014

THCS TAM HƯNG
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7 
Năm học 2013 – 2014 
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3đ) Tìm x sao cho
a, 
b, 
Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn
a, 
b, 
Bài 3 (4đ) 
a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:
b, Cho x+y – z = a-b
	 x - y + z = b - c
 -x+y + z = c – a
Chứng minh : x+y+z=0
Bài 4 (4đ) 
a, Cho đa thức 
Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b, Cho đa thức 
chứng tỏ rằng: nếu 
Bài 5 (5đ)
a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE 
1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 
2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: 
- HẾT -
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ)
a, - Chỉ rõ được 	 (0.25đ)
- Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng 
 	 (0.75đ)
b, Lý luận để có (0.25đ)
Xét đủ 2 trường hợp 
- Trường hợp có 1 số âm tính được 	(0.75đ)
- Trường hợp có 3 số âm tính được 	(0.75đ)
- Kết luận đúng (0.25đ)
Bài 2: Ta có 
Lý luận tìm được 	 	(0.5đ)
b, Biến đổi được 	 (1đ)
Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp)	 (0.75đ)
Kết luận được: 	 (0.25đ)
Bài 3: Từ giả thiết suy ra 	(0.5đ)
Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 
	(0.5đ)
Mặt khác ta có
	(0.75đ)
Suy được điều cần chứng minh	(0.25đ)
b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh	(2đ)
Bài 4 (0.75đ)
Thay 1999=x ta được
 (0.75đ)
Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998	(0.5đ)
b, Tính 	(0.5đ)
	(0.5đ)
	(0.5đ)
 (0.5đ)
Bài 5 (5đ)
a, (2đ)
1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết 	 (1đ)
2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của (1đ)
b, (3đ)
Xét 2 trường hợp
* Trường hợp điểm thì ta có
	 	 (1đ)
* Trường hợp 
	- Gọi I là trung điểm của BC	 (0.75đ)
	- Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ)
 Vì 
	 (0.25đ)	
* Chứng minh được 	 (0.25đ)
- Điểm C nằm trong chứng minh được (0.5đ)
- Chứng minh 	 (0.25đ)
- Suy ra 	(0.5đ)