Đề thi olympic môn toán 6 năm học 2013 – 2014 (thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC 
MÔN TOÁN 6
Năm học 2013 – 2014
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Bài 1( 4 điểm)
a, Chứng tỏ 4x + 3y chia hết cho 7 khi 2x + 5y chia hết cho 7
b, Tìm các số tự nhiên có bốn chữ số sao cho khi chia nó cho 130 , cho 150 được các số dư lần lượt là 88 và 108.
Bài 2 ( 5,0 điểm) :
a) Tính A = 
b, Tìm phân số lớn nhất, khi chia các phân số và cho nó ta đều được các thương là số nguyên.
Bài 3 (2,0 điểm) :
a, Cho biết S = . Chứng minh rằng < S < 
Bài 4 (4,0 điểm): Tổng bình phương của 3 số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , giữa số thứ hai và số thứ ba là . Tìm ba số đó.
Bài 5 ( 5,0 điểm) : 
Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy. Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của góc tOz. Vẽ tia Om sao cho tia Oy là phân giác của góc zOm.
a, Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau .
b, Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox, biết góc x’Om bằng 300 . Tính góc tOz .
c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ và Ot ). 
 Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?
------------------------ Hết -------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
HƯỚNG DẪN CHẤM và ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC 
 TOÁN 6
Năm học 2013 – 2014
Bài
Tóm tắt nội dung hướng dẫn 
Điểm
Bài 1
(4,0 đ)
Câu a ( 2 điểm)
Ta có 4x + 3y 7
 4( 4x + 3 y) 7
 16x + 12 y 7
 14x + 7y + 2x + 5y 7
Mà 14x + 7y = 7(2x + y) 7
Nên 2x + 5y 7
Vậy 4x + 3y 7 khi 2x + 5y 7
Câu b ( 2 điểm)
Gọi số phải tìm là a . 
Ta có a + 42 chia hết cho 130 và 150 nên a + 42 là BC(130,150)
Tìm đúng a = 1908; 3858 ;5808; 7758; 9708 ( mỗi giá trị 0,25 đ)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75đ
1,25đ
Bài 2 
( 5,0đ)
Câu a ( 2,0 điểm)
Ta có 
 A = 
Vậy A = ( 0 + 0) . = 0
Câu b(3,0 điểm)
 Từ ta có: (x,y N) 
Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó yƯ(54) = , 
vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. 
Vậy y 
Ta có bảng sau:
y
2
6
18
54
2x-1
27
9
3
1
 x
14
5
2
1
Vậy (x;y) 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
Bài 3
(2 đ)
* Chứng minh S < 
S = 
S < 
S < 
S< 
S << hay S < (1) 
* Chứng minh < S 
S > 
S > 
S > 
S > > Hay S > 
Từ (1) và (2) ta có < S < 
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
Bài 4
(4 đ)
Gọi a, b, c là 3 số tự nhiên phải tìm.
Theo đề bài ta có: ( 1) và (2)
Từ ( 1) suy ra , thay vào (2) ta có:
Tính được b = 30, 
Vậy 3 số tự nhiên cần tìm là: 30; 20; 36
1 đ
1 đ
1 đ
0,75 đ
0,25 đ
Bài 5
(5,0 đ)
O
t
x
z
y
m
x’
Bài làm không có hình vẽ không cho điểm.
Hình vẽ chính xác phần a, b được 0,5 điểm
Câu a : 2,0 điểm 
* Chứng minh góc tOz + góc zOm = 1800 
Tia Oz nằm trong góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 900 
Theo giả thiết có các tia phân giác nên góc xOz = góc tOz
 góc zOy = góc zOm
Từ đó suy ra góc tOz + góc zOm = 900
Hay góc tOz + góc zOm = 1800 
* Chứng minh góc tOz và góc zOm là hai góc kề nhau: 
* Kết luận : Cho 0,5 điểm 
0,5 đ
 0,25 đ 
0,25 đ
0,5 đ
 0,5 đ
0,25 
Câu b : 1,5 điểm 
Chứng minh góc tOx = mOx’ = 300 ( Cùng kề bù với góc mOx)
Góc tOx = góc xOz = 300 
Góc tOz = 600 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu c : 1,0 điểm 
Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’. Tất cả trong hình vẽ có n+6 tia phân biệt . 
Cứ 1 tia trong n+6 tia đó tạo với n+5 tia còn lại thành n+5 góc .
 Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc , nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần . Vậy có tất cả là góc 
Thay = 2014 ta được số góc có là 
 (2014+6)(2014+5) : 2 = 2 039 190 góc 
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.