Đề thi olympic môn toán lớp 7 năm học 2013 – 2014

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC 
MÔN TOÁN 7
Năm học 2013 – 2014
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Câu 1:( 5điểm): Cho chứng minh rằng:
a) b) 	b) 
Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:
Câu 3:(4 điểm)
	a).Chứng minh rằng : .
	b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên.
Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Câu 5: (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác đều.
b) AH = CE.
c) EH song song với AC.
------------------------ Hết --------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC 
 TOÁN 7
Năm học 2013 – 2014
Câu 1:( 5điểm)
a) Từ 
 	 (0,5điểm)
 (0,5điểm)
 b) Từ suy ra 	 (0,5điểm)
 khi đó (0,5 điểm )
 	= 	 ( 1 điểm)
 c) Theo câu b) ta có: 	 (0,5điểm)
	từ (0,5điểm)
 	hay 	 (0,5điểm)
	vậy 	 (0,5điểm)
Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (0,5điểm)
=> 
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được (0,5điểm)
 (0,5điểm)
=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y = 	(0,5điểm)
Vậy x = 2, y = thỏa mãn đề bài.
Câu 3:(4 điểm)
	a). 	§Æt : A = 
	Ta cã :
* A < = = (0,75điểm)
* A > .	 (0,75điểm)
Vậy: 	(0, 5điểm)
b.	 Ta cã : = =
= là số nguyên (1 điểm)
Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) = .
Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm)
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất 
 ( 1 điểm)	
Vậy nhỏ nhất bằng khi x=0 	 (0,5 điểm)
Suy ra GTLN của A =khi x=0 	 (0,5 điểm) 
Câu 5: (7 điểm)
Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm) 
 Chứng minh:
a) (2điểm)
 Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A.
Lại có : B = 900 – 300 = 600 nên tam giác ABD là tam giác đều.
b) (2 điểm)
 (cạnh huyền –góc nhọn)
 Do đó AH=CE
c) (2,5 điểm)
(cmt)nên HC=EA
cân ở D vì có 
 cân ở D.
Hai tam giác cân ADC và DEH có
 (hai góc đối đỉnh).do đó Ở vị trí so le trong, suy ra EH // AC. 
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.