Đề thi olympic toán 6 năm học : 2013- 2014 thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH CAO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6
Năm học : 2013- 2014
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
a.Tìm các số tự nhiên a, b, c để số 356abc chia hết cho 5; 7 và 9.
b. Cho S = 5+52+53+...+52013
 Chứng tỏ rằng S chia hết cho 31.
 Tìm các cặp số nguyên x; y biết :
 2x2y-x2-2y-2=0
Biết : n! = 1.2.3.n (n ∈N* ; n≥2)
 Chứng tỏ rằng : A= 12!+23!+.. . +20132014!<1
4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu 2 vòi cùng chảy trong 4 giờ rồi đóng vòi 1 sau đó cho vòi 2 chảy thêm 5 giờ nữa thì được bể. Hỏi nếu chỉ chảy 1 mình mỗi vòi phải chảy hết mấy giờ mới đầy bể.
5. Cho x0y và y0z là 2 góc kề bù. Om là tia phân giác của x0y ; On là tia phân giác của y0z .
Tính m0n .
Kẻ tia Om’ là tia đối của tia Om .Nếu z0m' = 300 thì m'0y có số đo bằng bao nhiêu độ.
Vẽ đường thẳng d không đi qua O .Trên đường thẳng d lấy 2014 điểm phân biệt .Tính số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d .
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM 
Câu 1 (5đ)
a.Vì 356abc ⋮ 5; 7 và 9 => 356abc ∈ BC( 5, 7, 9)
BCNN(5, 7, 9) = 315 => 356abc = 315.k (k ∈N*)
 Vì a, b, c là các chữ số
=>356000 ≤ 315.k ≤356999
=> k ∈{ 1131; 1132; 1133}
=> 356abc ∈ { 356265; 356580; 356895} 
Vậy ta được các bộ 3 số (a; b; c) là :
(2; 6; 5) ; (5; 8; 0) ; (8; 9; 5)
(3đ)
b.S=5+52+53+54+55+56+.. .+52011+52012+52013 ( có 671 nhóm)
S=51+5+52+54(1+5+52)+.. .+52011(1+5+52)
S= (5+54+.. .+52011) 31 ⋮ 31
 Vậy S ⋮ 31
 (2đ)
Câu 2
(4đ)
2x2y-x2-2y-2=0
x22y-1-(2y-1) = 3 
(2y-1)(x2-1)= 3
=>2y-1và (x2-1) là các ước của 3 
Ta có bảng sau :
x2-1
-1
1
3
-3
2y - 1
-3
3
1
-1
x
0
/
2; -2
/
y
-1
2
1
0
Vậy các cặp số (x; y) thỏa mãn đề bài là (0; -1) ; (2; 1) ; (-2 ; 1)
(4đ)
Câu 3
(2đ)
A= 12!+23!+34!.. . +20132014! 
A=2-12!+3-13!+4-14!+.. .+2014-12014!
A= 22!-12!+33!-13!+44!-14!+.. . +20142014!-12014!
A=1-11.2+31.2.3-11.2.3+41.2.3.4-11.2.3.4+.. .+20141.2.2014-11.2.32014
A= 1-12+12-11.2.3+11.2.3-12.3.4+.. .+11.22013-12014!
A= 1-12014! < 1
Vậy A< 1
(2đ)
Câu 4
(4đ)
 1 giờ 2 vòi chảy được 112 ( bể nước)
 4 giờ 2 vòi chảy được 412=13 ( bể nước)
 5 giờ vòi thứ 2 chảy được 712-412=14 ( bể nước)
Vòi số 2 chảy đầy bể hết : 5: 14 = 20 (giờ)
1 giờ vòi 2 chảy : 120 (bể )
1 giờ vòi 1 chảy : 112-120=130 ( bể nước)
Vòi 1 chảy đầy bể hết : 1:130=30 ( giờ)
(4đ)
Câu 5
(5đ)
(0,5đ)
a.Om là tia phân giác x0y =>02=12x0y
 On là tia phân giác y0z => 03=12y0z
=>mOn=O2+ O3 = 12(xOy+yOz) = 18002 = 900
(1,5đ)
b.+) Om và Om’ là hai tia đối nhau => mOm' = 1800
+) m'Oz Oz nằm giữa Om và Om’
=> m'Oz + zOm = 1800 (1)
Mặt khác xOm + mOz = 1800 (2)
Từ (1) và (2) => m'Oz = xOm
+) m'Oy + yOm = 1800
 Mà yOm = xOm = 300 ( vì Om là tia phân giác của x0y )
=> m'Oy=1800-yOm=1800-300 = 
(1,5đ)
c.Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được 1 góc 
đỉnh O .
=>Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O.
=> Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :
2014.20132=2027091 (góc)
 Vậy có 2027091 góc.
(1,5đ)