Đề thi olympic toán 8 năm học: 2013 - 2014 Trường Thcs Liên Châu

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2013 - 2014

Thời gian: 120 phút

Câu 1(6điểm) 
 1. Giải phương trình sau:
 a.
 b. 
 2. Chứng minh bất đẳng thức sau:
 x2 + y2 + z2 xy + xz + yz với mọi x , y ,z
Câu 2 (5điểm)
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư. 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
 x2 – xy = 6x – 5y – 8 
Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 M = (1 + )2 + ( 1 +)2 
Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH 
(H BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . 
Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC .Tính độ dài đoạn BE theo 
 m = AB 
Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng BHM đồng dạng BEC . Tính số đo của góc AHM.
Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh :



	…………….Hết………………








PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2013 - 2014



 Nội dung đáp án 
Điểm
Câu1

6 điểm
1)

4 điểm
a)

2điểm

Đặt: 
Phương trình đã cho trở thành:
 
Khi đó, ta có: 
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

0,5điểm


0,5điểm


0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm
b)


2điểm

Lập bảng xét dấu các nhị thức : x – 1 và x + 3 

 x 	- 3 1

 x – 1 	 – 	|	 – 	0 + 
	
 x + 3 – 0 + | +

+) Xét x < - 3 (1)
Phương trình 1 – x – 3 – x = 4 - 2x = 6 x = - 3. Không thỏa mãn (1)
+) Xét - 3 x 1 (2) 
 Phương trình 1 – x + x +3 = 4 0x = 0 Thỏa mãn với mọi x R sao cho - 3 x 1 
 + ) Xét x 1 (3)
Phương trình x – 1 + x+ 3= 4 2x = 2 x=1 . Thỏa mãn (3) 

Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm - 3< x 1

0,25điểm


 0, 5điểm




0,5 điểm


0,25điểm


0,25điểm

0,25điểm




2)

2điểm

Có ( x – y )2 + ( y – z )2 + ( z – x )2 0 với mọi x, y ,z 
 x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 0
 2( x2 + y2 + z2) 2( xy + xz + yz )
 x2 + y2 + z2 xy + xz +yz (đpcm)
0,5điểm
0,5 điểm
0,5điểm
0,5điểm

Câu 2



5điểm
1)

2,5điểm

Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 
Xét các giá trị riêng của x sao cho x2 – 4 = 0 (x – 2 )( x + 2) = 0
 x = 2 hoặc x = - 2
 Với x =2 f(2) = 2a +b 
 Với x = - 2 f(- 2) = - 2a + b
Theo đề bài, ta có:

Do đó: 
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 


0,5điểm


0,5điểm



0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm
2)

2,5 điểm

x2 – xy = 6x – 5y - 8 x2 – 6x + 8 = y (x – 5 ) (2)

 y = ( vì x =5 không là nghiệm của phương trình (2))
 y = x – 1 +. Vì x , y là nguyên nên x – 5 là ước của 3 

Hay x – 5 { - 1, 1, 3 , - 3}hay x{ 4, 6 , 8 , 2}
 
Khi x = 2 thì y = 0 . Khi x =4 thì y = 0 
Khi x = 6 thì y = 8 . Khi x= 8 thì y =8 

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8)



0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm


0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm






Câu 3

2,0điểm

 M= ( 1 + )2 + ( 1 + )2 vì a + b =1 
 M = ( 2 + )2 + ( 2 + )2 
 M = 4 + + + 4 + + 
 M = 8 + ( ) + 4( ) 8+ 2 + 4 . 2 = 18
( vì a> 0, b> 0 nên và )
Dấu = xảy ra a = b và a + b = 1 a = b = 
Vậy min M = 18 Khi a = b = 


0,5điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,5điểm



0,25điểm

0,25điểm
Câu 4

7,0điểm

a)



Vẽ hình 









Chứng minh CDE CAB (g.g)
Suy ra 
 Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Chứng minh trên)
 Do đó ADC BEC (c.g.c). 
Suy ra : góc BEC = góc ADC = 1350 ( vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên góc AEB = 450 .Do đó tam giác ABE vuông cân tại A .
Suy ra : 
2,5điểm

0,25điểm










0,5điểm
0,25điểm
 
0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm


b)










Ta có: (do )
Mà: ( tam giác AHD vuông cân tại H)
Nên 
 Mà (g . g ) 
Nên :( )
Do đó: (c.g.c), suy ra: 
2,5điểm

0,25điểm

0,5điểm

0,5điểm

0,5điểm

0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm

c)


Tam giác ABE vuông cân tại A , 
nên tia AM còn là phân giác của góc BAC. 
Suy ra AG là phân giác của góc BAC Suy ra: 
mà 

Do đó: 

 2,0điểm

0,5điểm

0,5điểm


0,5điểm


0,5điểm 


 Điểm toàn bài 20 điểm



 ----------------------- Hết-----------------------