Đề thi Olympic Toán tuổi thơ Năm học:2011-2012 Môn: Toán 8 Đề số 5

PHÒNG GD&ĐT KIM SƠN
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2010 - 2011
ĐỀ THI CÁ NHÂN
(Thời gian làm bài: 30 phút)


Câu 1. Số dư trong phép chia 21000 cho 5 bằng bao nhiêu?

Câu 2. Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8
Đáp số: ..............................................................................

Đáp số: ..............................................................................

Câu 3. Cho là số nguyên tố. Tìm để các số đều là các số nguyên tố.

Câu 4. Cho và . Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?
Đáp số: ..............................................................................

Đáp số: ..............................................................................

Câu 5. Tìm a và b để đa thức chia hết cho đa thức 

Câu 6. Cho x – y = 5 và x2 + y2 = 15. Giá trị của biểu thức x3 – y3 bằng bao nhiêu?
Đáp số: ..............................................................................

Đáp số: ..............................................................................

Câu 7. Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?

Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên n để là một số chính phương?
Đáp số: ..............................................................................

Đáp số: ..............................................................................

Câu 9. Cho và . Kết quả của phép rút gọn phân thức bằng bao nhiêu?

Câu 10. Tìm các giá trị của a để phương trình vô nghiệm.
Đáp số: ..............................................................................

Đáp số: ..............................................................................

Câu 11. Đường phân giác AE và BD của tam giác ABC cắt nhau tại O. Biết AB = 12 cm; AO:OE = 3: 2 và AD: DC = 6 : 7. Tính độ dài cạnh AC.

Câu 12. Cho DABC cân tại A, trung tuyến AM, O là trung điểm của AM. Tia BO cắt AC tại D, tia CO cắt AB tại E. Biết SADE = a2. Tính SABC.
Đáp số: ..............................................................................

Đáp số: ..............................................................................



Câu 13. Cho dãy số: 1236; 5128; 1135. Hãy chọn trong các số dưới đây 2 số có cùng quy luật với dãy số trên:	1126; 6129; 5571; 4312; 5049.
Đáp số: ..............................................................................



Câu 14. Cho với a là hằng số. Tìm x để S = 2
Đáp số: ..............................................................................
Câu 15. Cho DABC như hình bên. 
Biết AD = 3DB Hãy so sánh SADE và SABC.


Đáp số: ..............................................................................




Câu 16(Tự luận). Trên ô tô đi từ M đến K với vận tốc 62 km /h và một chiếc mô tô cũng đi từ M đến K với vận tốc 55 km /h. Để 2 xe đến đích cùng một lúc, người ta cho xe ô tô đi trước một thời gian. Nhưng vì lý do đặc biệt, khi chạy được quãng đường MK xe ô tô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h. Nhờ thế khi còn cách K 124 km thì xe mô tô đuổi kịp ô tô. Tìm khoảng cách từ M đến K?































PHÒNG GD&ĐT KIM SƠN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2010 - 2011
ĐỀ THI CÁ NHÂN

Câu 1. Đáp số: dư 1.
(Có Þ chia cho 5 dư 1.)
Câu 2. Đáp số: 8836
Gọi n2 là số chính phương cần tìm. Vì số chính phương không thể có chữ số tận cùng bằng 3 và 8 nên n2 có chữ số tận cùng bằng 6.
Þ n2 có số tận cùng là 86 hoặc 36.
Mà 86 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên n2 phải có tận cùng bằng 36.
Vậy số chính phương cần tìm là 8836 (=942).
Câu 3. Đáp số: p = 5
- Nếu p = 2 Þ đều là hợp số. Nếu p = 3 Þ p + 6 là hợp số.
- Nếu p = 5 Þ đều là các số nguyên tố.
- Nếu p ≠ 5 Þ p = 5k ± 1 hoặc p = 5k ± 2.
+ Nếu p = 5k ± 1 Þ p + 14 hoặc p + 6 là hợp số (vì chia hết cho 5).
+ Nếu p = 5k ± 2 Þ p + 8 hoặc p + 12 là hợp số (vì chia hết cho 5). Vậy: p = 5.
Câu 4. Đáp số: 
Có: a + b + c = 0 Þ (a + b + c)2 = 0 Þ ... Þ a2b2 + b2c2 + c2a2 = 
Þ a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2- 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)=1-2. =
Câu 5. Đáp số: a = - 8; b = 20
Đặt .
A chia hết cho x2 – 4 thì A chia hết cho x – 2 và x + 2. Áp dụng định lý Bơ-du ta có:
A(2) = 2.23 – 5.22 + 2a + b = - 4 + 2a + b
A(-2) = 2.(-2)3 – 5.(-2)2 - 2a + b = - 36 - 2a + b
A chia hết cho x2 – 4 khi A(2) = 0 và A (-2) = 0 Þ a = - 8; b = 20.
Câu 6. Đáp số: 50
Có x – y = 5 Þ (x – y)2 = 25 Þ x2 + y2 – 2xy = 25 Þ xy = - 5.
Þ x3 – y3 = (x – y)(x2 + y2 + xy) = 5.(15 – 5) = 50.
Câu 7. Đáp số: MaxA = 3
Có 
Vì Min (x2 + 1) = 1 Þ MaxA = 3 tại x = 0.
Câu 8. Đáp số: Không có số tự nhiên n nào thoả mãn
Đặt n2 + 1234 = m2 (m Î Z) Þ m2 – n2 = 1234 chia cho 4 dư 2.
Mà hiệu 2 số chính phương khi chia cho 4 không thể có số dư bằng 2 nên không có số tự nhiên n nào thoả mãn đề bài.


Câu 9. Đáp số: 
Có x + y + z = 0 Þ x2 + y2 + z2 = -2(xy + yz + zx)

Câu 10. Đáp số: a = 3
ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1
 Þ Þ 
Phương trình vô nghiệm khi a – 3 = 0 Þ a = 3.
Câu 11. Đáp số: AC = 9 (cm)
Có BO là phân giác của DABE Þ Þ BE = 8 (cm).
Có BD là phân giác của DABC Þ Þ EC = 6 (cm). 
Có AE là phân giác của DABC Þ Þ AC = 9 (cm).
Câu 12. Đáp số: 
Vẽ MN // BD (N Î AC). Vì OA = OM Þ AD = DN.
Vì MB = MC Þ DN = CN Þ AD = DN = NC = 
Chứng minh tương tự, suy ra: AE = 
Þ ED // BC Þ DAEDDABC
Þ Þ 
Câu 13. Đáp số: 6129; 5049
- Chọn số 6129; 5049 vì theo quy luật cứ tổng 3 chữ số đầu tạo thành chữ số thứ tư.
Câu 14. Đáp số: 

 Þ Þ 
Câu 15. Đáp số: SADE =..SABC = SABC
Có AM là trung điểm của BC Þ SABM = SACM = SABC (1)
Có AD = 3DB Þ AD = AB Þ SADM = SABM (2)
Có DE là trung điểm của AM Þ SADE =SADM (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: SADE =..SABC = SABC.
Câu 16. Đáp số: MK = 514 km
Gọi khoảng cách từ M đến K bằng x (km); x > 0.
Khi đó:
Thời gian ô tô đi được đến lúc gặp xe máy là: (h)
Thời gian xe máy đi được đến lúc gặp ô tô là: (h)
Ta có phương trình: 
Þ x = 514.
Vậy MK = 514 km.