Đề thi Olympic Toán tuổi thơ Năm học:2011-2012 Môn: Toán 8 huyện Kim Sơn Đề số 2

UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI CÁ NHÂN
Thời gian làm bài: 30 phỳt
(Đề thi gồm 16 câu; 15 câu trắc nghiệm, 1 câu tự luận)

Cõu 1. Cho 1,3,5,7, … là dóy số lẻ liờn tiếp đầu tiờn. Hỏi số 2013 là số hạng thứ bao nhiờu trong dóy số này? 

Cõu 2: Giỏ trị biểu thức tại x = 16 là bao nhiờu?

Cõu 3: Phải chia 5115 cuốn sỏch thành bao nhiờu phần để cho phần thứ nhất bằng phần thứ hai, phần thứ hai bằng phần thứ ba, phần thứ ba bằng phần thứ tư,….? Cho biết theo cỏch chia này thỡ phần thứ năm được chia 80 cuốn.

Cõu 4: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: 

Cõu 5: Một số chớnh phương chia hết cho 3 chỉ cú thể cú số dư bằng bao nhiờu?

Cõu 6: Với mọi số nguyờn a thỡ a5 - a chia hết cho 5, đỳng hay sai?

Cõu 7: Tỡm nghiệm của phương trỡnh sau: x4+x3+x2+x+1 = 0.

Cõu 8: Cho hai biểu thức: D = 3x+4y+5. E = 4x-2y+7. Biết y = 3, tỡm x để D.E = 0
Cõu 9: Cho biểu thức F = . Tỡm x để F = 8.

Cõu 10: Với mọi số tự nhiờn n 1 thỡ đỳng hai sai?

Cõu 11: Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc AB = 8cm, BC = 7cm, AD = 4cm. Tớnh độ dài CD.

Cõu 12: Tứ giỏc ABCD cú E, F thứ tự là trung điểm của AD, BC. So sỏnh độ dài của EF với trung bỡnh cộng độ dài của AB và CD.
Cõu 13: Biết tổng số đo cỏc gúc của đa giỏc n cạnh là (n-2).1800. Một đa giỏc n cạnh cú tổng cỏc gúc trừ đi gúc A của nú bằng 5700. Hóy tỡm n và số đo gúc A.

Cõu 14: Tỡm hai cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau trong bốn đoạn thẳng sau, viết cỏc tỷ lệ thức tương ứng:
AB = 26cm; CD = 42cm; EF = 14cm; GH = 78cm.

Cõu 15: Nếu tam giỏc ABC đồng dạng với tam giỏc DEF theo tỉ số k1 và tam giỏc DEF đồng dạng với tam giỏc PQR theo tỉ số k2 thỡ tam giỏc ABC đồng dạng với tam giỏc PQR theo tỉ số bằng bao nhiờu?

Cõu 16: Tự luận: Một ụ tụ dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bỡnh 40 km/h. Lỳc đầu ụ tụ đi với vận tốc đú, khi cũn 60 km nữa thỡ được nửa quóng đường, người lỏi xe tăng thờm vận tốc 10 km/h trờn quóng đường cũn lại, do đú ụ tụ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tớnh quóng đường AB. 



ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
(ĐỀ THI CÁ NHÂN)

Từ cõu 1 đến cõu 15, mỗi cõu đỳng cho 5 điểm (=75 điểm)
Cõu 16 (tự luận) cho 25 điểm.
Tổng điểm bài thi: 100 điểm.
(Đỏp ỏn làm chi tiết như thi tự luận để giỏm khảo hiểu rừ đề và đỏp ỏn nhằm thuận lợi cho việc chấm bài. Khi chấm 15 cõu trắc nghiệm đầu, học sinh chỉ cần cho kết quả cuối cựng là được)

Cõu 1: Trong dóy số tự nhiờn liờn liếp từ 1 đến 2012 cú cỏc số lẻ bằng cỏc số chẵn và bằng 2012:2 = 1006 (số). Số 2011 là số hạng thứ 1006 trong dóy số lẻ liờn tiếp 1,3,5,7,….,2009, 2011. Vậy số 2013 là số hạng thứ 1007 trong dóy số đó cho. 
Cõu 2: 
Cõu 3: Vỡ phần thứ năm cú 80 cuốn sỏch nờn cỏc phần từ thứ tư đến thứ nhất lần lượt cú 40 cuốn, 20 cuốn, 10 cuốn, 5 cuốn. Từ phần thứ sỏu trử đi lần lượt cú 160 cuốn, 320 cuốn, 640 cuốn, 1280 cuốn, 2560 cuốn, 5120 cuốn …. Riờng phần thứ mười một cú số sỏch vượt quỏ tổng số sỏch đem chia nờn số 5115 cuốn sỏch khụng thể chia thành 11 phần hoặc nhiều hơn số đú. 
Thử lại: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560 = 5115.
Vậy số sỏch được chia thành 10 phần. 
(Cú thể dựng phương phỏp số phần bằng nhau để giải bài toỏn này). 
Cõu 4: 
Cõu 5: Gọi C là số chớnh phương C = n2 (nN), xột cỏc trường hợp
+ n = 3k (kN), C = 9k2 chia hết cho 3
+ n = 3k1 (kN), C = 9k26k + 1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chớnh phương chia cho 3 chỉ cú thể cú số dư là 0 hoặc 3.
Cõu 6: Ta cú a5 – a = a(a2-1)(a2+1) = a(a2-1)(a2-4+5) = a(a2-1)(a2-4) +5a(a2-1) 
 = (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2-1). 
 Mỗi số hạng đều chia hết cho 5, do đú a5 – a chia hết cho 5. (Đỳng)
Cõu 7: Nhõn hai vế phương trỡnh x4+x3+x2+x+1 = 0 (1) với x-1, ta được:
 (x-1)(x4+x3+x2+x+1) = 0 x5 – 1= 0 x5 =1 (*)
 Phương trỡnh (8) cú nghiệm x = 1 nhưng nghiệm này khụng thỏa món phương trỡnh (1) nờn phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 
(Học sinh cú thể giải theo PP của phương trỡnh đối xứng).
Cõu 8: y = 3 ta cú [3x+4.3+5].[4x-2.3+7]=0 (3x+17)(4x+1)=0
Suy ra x = -; x = -
Cõu 9: Điều kiện xỏc định của biểu thức F là x7.
 Giải phương trỡnh ta được x = 7 (loại) vậy phương trỡnh vụ nghiệm
Cõu 10: Ta cú (Đỳng)
Cõu 11: Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC và BD của tứ giỏc ABCD ta cú OA2+OB2+OC2+OD2 = BC2+AD2 = 72+42 = 65. 
Lại cú OA2+OB2 = AB2 = 82 = 64, nờn OC2+OD2 =1 hay CD2 = 1 suy ra CD = 1
Cõu 12: Gọi K là trung điểm của đường chộo AC. 
Ta cú EF<KF+KE, mà KF = AB; KE = DC (tớnh chất đường trung bỡnh)
Do đú 
Cõu 13: Ta cú (n-2).180 - Â=5700 nờn Â=(n-2)1800-5700. Do 0< Â <1800 nờn 0< (n-2)-570<180 
Do n là số tự nhiờn nờn n = 6 và Â=(6-2) 1800-5700 = 1500.
Cõu 14: 
Cõu 15: ABC DEF theo tỉ số k1 = 
 DEF PQR theo tỉ số k2 = 
 Do đú ABC PQR theo tỉ số k = 
Cõu 16: 

- Gọi độ dài quóng đường AB là x (x>120) 	(3 đ)
- Khi đú quóng đường đi với vận tốc ban đầu (40 km/h) là 	(3 đ)
 quóng đường đi với vận tốc tăng lờn (50 km/h) là 	(3 đ)
- Thời gian đi trờn đoạn đường () km là ():40	(3 đ)
 Thời gian đi trờn đoạn đường () km là ():50	(3 đ)
 Thời gian dự định ban đầu là x:40	 (3 đ)
- Do ụ tụ đến sớm hơn dự định 1 giờ nờn ta cú phương trỡnh sau: 	():40 + ():50	= 	 (3 đ)
- Giải phương trỡnh (1) ta được x = 280 (tmđk) 	 (3 đ)
- Vậy quóng đường AB dài 280 km	 (1 đ)
UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
(Đề thi gồm 6 câu; chia làm 6 đợt thi, 
mỗi đợt thi 1 câu, thời gian làm bài trong 5 phút )

Cõu 1: Cho a+b+c = 2p. Rỳt gọn biểu thức (p-a)2+(p-b)2+(p-c)2 + p2 
...............................................
...............................................






















UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
(Đề thi gồm 6 câu; chia làm 6 đợt thi, 
mỗi đợt thi 1 câu, thời gian làm bài trong 5 phút )

Cõu 2: Vào thế kỷ thứ III trước cụng nguyờn, vua sứ Xi-ra-cỳt giao cho Ac-si-met kiểm tra chiếc mũ bằng vàng của mỡnh cú pha thờm bạc hay khụng. Chiếc mũ cú trọng lượng 5 niutơn, khi nhỳng ngập trong nước thỡ trọng lượng giảm đi 0,3 niutơn. Biết rằng khi cõn trong nước vàng giảm trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. 
...............................................
...............................................
















Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiờu gam bạc? (vật cú khối lượng 100g thỡ trọng lượng bằng 1 niutơn)



UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
(Đề thi gồm 6 câu; chia làm 6 đợt thi, 
mỗi đợt thi 1 câu, thời gian làm bài trong 5 phút )

Cõu 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Vẽ BHAC (HAC). Gọi M là trung điểm của AH, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng BMMN
...............................................
...............................................



















UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
(Đề thi gồm 6 câu; chia làm 6 đợt thi, 
mỗi đợt thi 1 câu, thời gian làm bài trong 5 phút )

...............................................
...............................................
















Cõu 4: Đường sụng từ tỉnh A đến tỉnh B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B ca nụ đi hết 3 giờ 20 phỳt, ụ tụ đi hết 2 giờ. Vận tốc của ca nụ kộm vận tốc ụ tụ là 17 km/h. Tớnh vận tốc của canụ? 








UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
(Đề thi gồm 6 câu; chia làm 6 đợt thi, 
mỗi đợt thi 1 câu, thời gian làm bài trong 5 phút )

...............................................
...............................................
















Cõu 5: Tam giỏc ABC cú ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH. FH.







UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI
(Đề thi gồm 6 câu; chia làm 6 đợt thi, 
mỗi đợt thi 1 câu, thời gian làm bài trong 5 phút )

Cõu 6: Xỏc định m để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất:

...............................................
...............................................



















UBND HUYỆN KIM SƠN
 đề chính thức
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI

Thời gian làm bài của mỗi đội là 30 phỳt.
(Đề thi gồm 6 câu, trong 1 trang)


Cõu 1. Cho a+b+c = 2p. Rỳt gọn biểu thức (p-a)2+(p-b)2+(p-c)2 + p2 
Cõu 2: Vào thế kỷ thứ III trước cụng nguyờn, vua sứ Xi-ra-cỳt giao cho Ac-si-met kiểm tra chiếc mũ bằng vàng của mỡnh cú pha thờm bạc hay khụng. Chiếc mũ cú trọng lượng 5 niutơn, khi nhỳng ngập trong nước thỡ trọng lượng giảm đi 0,3 niutơn. Biết rằng khi cõn trong nước vàng giảm trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. 
Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiờu gam bạc? (vật cú khối lượng 100g thỡ trọng lượng bằng 1 niutơn)
Cõu 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Vẽ BHAC (HAC). Gọi M là trung điểm của AH, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng BMMN
Cõu 4: Đường sụng từ tỉnh A đến tỉnh B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B ca nụ đi hết 3 giờ 20 phỳt, ụ tụ đi hết 2 giờ. Vận tốc của ca nụ kộm vận tốc ụ tụ là 17 km/h. Tớnh vận tốc của canụ? 

Cõu 5: Tam giỏc ABC cú ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH. FH.

Cõu 6: Xỏc định m để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất:










ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN TUỔI THƠ
Năm học 2011 - 2012
(ĐỀ THI TIẾP SỨC ĐỒNG ĐỘI)

Mỗi cõu 5 điểm: Tổng điểm bài thi: 30 điểm.

Cõu 1: Ta cú (p-a)2+(p-b)2+(p-c)2 + p2 = 4p2 -2p(a+b+c) +a2 +b2+c2 = a2 +b2+c2
Cõu 2: 
Gọi trọng lượng bạc trong mũ là x (niutơn) (0<x<5). 
Trọng lượng vàng trong mũ là 5-x
Khi nhỳng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm niutơn, trọng lượng vàng giảm niutơn, Ta cú phương trỡnh: . Giải phương trỡnh đươck x = 1
Trọng lượng bạc trong mũ là 1 niutơn, chiếc mũ chứa 100g bạc

Cõu 3: Gọi K là trung điểm của AB, suy ra MK//BH do đú MKAC, dễ thấy KBCN là hỡnh chữ nhật nờn BN=CK, BN cắt CK tại trung điểm I của mỗi đoạn, Tam giỏc vuụng KMC cú MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nờn MI=KC mà KC = BN nờn MI = BN. Tam giỏc BMN cú trung tuyến MI bằng BN nờn tam giỏc vuụng tại M, do vậy BMMN
Cõu 4: Gọi vận tốc của ca nụ là x (x>0), thi vận tốc của ụ tụ là x+17
Độ dài quóng đường sụng từ A đến B là 
Độ dài quóng đường bộ từ A đến B là: 2(xx+17)
Theo bài ra ta cú phương trỡnh: 2(x+17) - = 10
Giải phương trỡnh ta được x = 18 (thỏa món đk x>0)
Vậy vận tốc của ca nụ là 18 km/h

Cõu 5: Chứng minh AHE BHD (gg) =>...=>AH.DH = BH.EH (1)
 Chứng minhAFH CDH (gg) =>...=>AH.DH = CH.FH (2)
 Từ 1, 2 suy ra điều phải chứng minh

Cõu 6: Điều kiện để phương trỡnh xỏc định là và 
Từ phương trỡnh => x(x+3)=(x+2)(x+1-m)mx = 2(3-1) (*)
Để phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất thỡ phải cú