Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn Toán lớp 11 - Bài 4

Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh
Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
	KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30–4
	ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN LỚP 11
Số phách 
	Đường cắt phách
Số phách 
I. Câu số 4: 
	Hỏi có tồn tại hay không 4 số thực phân biệt sao cho bất kỳ 2 	số x, y phân biệt nào trong 4 số đó cũng đều thỏa:
	x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 = 1. 
	II. Đáp án câu số 4:	
Với x ≠ y ta có:
	x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 = 1 
Û 	 
Û 	x5 – x = y5 – y .
Giả sử có 4 số thực a, b, c, d phân biệt thỏa điều kiện đề bài. 
Khi đó có: 
	a5 – a = b2 – b = c5 – c = d5 – d = m.
Þ 	a, b, c, d là bốn nghiệm phân biệt của phương trình x5 – x – m = 0.
Xét hàm số f(x) = x5 – x ta có:
	f’(x) = 5x4 – 1, " x Î R.
	f’(x) = 0 Û x = ±
Đạo hàm f’(x) có đúng hai nghiệm phân biệt nên theo định lí Lagrange ta có đa thức f(x) không thể có nhiều hơn ba nghiệm phân biệt. 
Vậy không thể tồn tại 4 số thực phân biệt thỏa điều kiện đề bài.