Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn Toán lớp 11 - Bài 5

Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh
Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
	KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30–4
	ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN LỚP 11
Số phách 
	Đường cắt phách
Số phách 
I. Câu số 5: 
	Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. M là điểm tùy 	ý bên trong tam giác ABC. Gọi x, y, z là ba số dương bất kỳ.
	Chứng minh: 
	x.MB.MC + y.MC.MA + z.MA.MB ≥ min(xbc, yca, zab)
	II. Đáp án câu số 5:	
	x.MB.MC + y.MC.MA + z.MA.MB ≥ min(xbc, yca, zab)	(1)
Đặt 	p = xbc, q = yca, r = zab, P = , , R = 
	 và .
Ta có: (1) Û Pp + Qq + Rr ≥ min(p; q; r)	(2)
Ta chứng minh (2): Ta có: ≥ min(p; q; r)	(3)
Mặt khác ta sẽ chứng minh: P + Q + R ≥ 1	(4)
Từ (3) và (4) suy ra (2). Bây giờ ta chứng minh (4):
Ta có: 
(4) Û + + ≥ 1 Û ≥ 1
Û 	
Û a2 + b2 + c2 + ab + bc+ ca 
	≥ 
Û a2 + b2 + c2 +(MA2+MB2 – c2)+ (MB2 + MC2 – a2) + (MC2 + MA2 – b2) ≥ 0
Û a2 + b2 + c2 + 2abcosα + 2bc cos β + 2cacos g ≥ 0
Û ≥ 0
Û a2 + b2cos2α + c2cos2g + 2abcosα + 2bccosα cosg + 2cacosg + b2sin2α – 2bcsinαsing + c2sin2g ≥ 0
Û ≥ 0 (Đúng)
Vậy (4) đã được chứng minh. Do đó (1) được chứng minh.