Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn Toán lớp 11 - Bài 6

Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh
Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
	KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30–4
	ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN LỚP 11
Số phách 
	Đường cắt phách
Số phách 
I. Câu số 6: 
	Cho dãy số (an) xác định bởi:
	Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, dãy các số dư 	khi chia các số hạng của dãy số (an) cho m là một dãy hằng kể 	từ một chỉ số nào đó.
	II. Đáp án câu số 6:	
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo m Î N*.
Ø Khi m = 1, ta thấy mệnh đề đúng.
Ø Giả sử mệnh đề đúng đến m = k – 1 (k ≥ 2), ta chứng minh mệnh đề đúng với m = k.
Thật vậy:
* Trường hợp k là số chẵn: 
Viết k dưới dạng k = 2p.q với p, q Î N* và q lẻ. 
Ta có: 
	q < k nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại chỉ số r sao cho với:
	i, j Î N*, i > j > r ta có: ai º aj (mod q).
Mặt khác với 	i, j Î N*, i > j > r ta có: ai º 0 º aj (mod 2p).
Lấy = max (r, p) thì với i, j Î N*, i > j > ta có: 
	ai º aj (mod k) ( do (2p, q) = 1)
* Trường hợp k là số lẻ:
 Đặt s = j(k), d (2, k) = 1 nên theo định lí Euler ta có 2s º 1 (mod k).
Hiển nhiên s < k nên theo giả thiết quy nạp, tồn tại chỉ số h và tồn tại hằng số c sao cho 
	" i Î N*, i ≥ h ta có ai º c (mod s).
Lấy n tùy ý lớn hơn h, ta có:
	 n – 1 ≥ h 
Þ 	an – 1 º c (mod s) 
Þ 	an – 1 = ds + c (d Î N)
Þ 	an = = 2ds + c = (2s)d. 2c º 2c (mod k)
Þ 	" n > h ta luôn có an º 2c (mod k).
Vậy mệnh đề đúng với m = k. 
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.