Đề thi thông tin phát hiện học sinh giỏi bậc THCS cấp thị xã môn toán 8 năm học 2008 - 2009

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 THỊ XÃ GIA NGHĨA
ĐỀ THI THƠNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI 
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ 
MƠN TỐN 8
NĂM HỌC 2008 - 2009

Thời gian : 120’ (Khơng kể thời gian phát đề)


Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
Chứng tỏ giá trị biểu thức A chia hết cho 24 với mọi giá trị n N.
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức 
A = 
Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 3: (6 điểm)
a) Tìm a, b, c thuộc Z biết

b) Cho hai số tự nhiên a và b trong đĩ a = b – 2.
Chứng minh rằng b3 – a3 viết được dưới dạng tổng của ba số chính phương.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuơng ở A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuơng gĩc với IK.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuơng tại A ( AC > AB ), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA, đường vuơng gĩc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh AE = AB
Gọi M là trung điểm của BE. Tính số đo gĩc AHM.

-----------------------HẾT-----------------------

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TĨAN 8 
Bài 1 (3 điểm):
Đáp án
Thang điểm
A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
 = n(n3 + 6n2 + 11n + 6)
 = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6)
 = n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]
 = n(n + 1)(n2 + 5n + 6)
 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 
A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trong đĩ là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cĩ một số chia hết cho 3 (1)
4 số tự nhiên liên tiếp cĩ hai số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp cĩ một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4. Nên tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 (2)
3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (3).
Từ (1), (2), (3) 


0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm



0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 2 (4 điểm):
Đáp án
Thang điểm
§iỊu kiƯn: 
 A = 
 = 
	 = 
 = 
Ta cĩ A nguyên (x + 2006) 
Vậy x là ước của 2006 


0,5 điểm

0,5 điểm

1,0 điểm
0,5 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 3 (6 điểm):
Đáp án
Thang điểm
a) (3 điểm)Tìm a, b, c thuộc Z biết


Vế trái là tổng bình phương nên luơn 0
Vây để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì
 = 0
Vậy 
b) (2 điểm)
b3 - a3 = ( a + 2 ) – a3
= a3 + 6a2 + 12a + 8 – a3
= 6a2 + 12a + 8
= a2 + a2 + 4a + 4 + 4a2 + 8a + 4
= a2 + a2 + 4a + 4 + 4a2 + 8a +4
= a2 + (a + 2)2 + (2a + 2)2 (ĐPCM)



0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm






1,0 điểm





0,5 điểm

0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm

0,5 điểm

Bài 4 (3 điểm):
Đáp án
Thang điểm
Vẽ hình đúng 

Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (cĩ 3 gĩc vuơng)
Gọi O là giao điểm của AH và IK. N là giao điểm AM và IK.
AM = MC = (Tính chất trung tuyễn ứng với cạnh huyền của tam giác vuơng) 
 (Tính chất đường chéo hình chữ nhật)


0,5 điểm







0,25 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm

Bài 5 (4 điểm):
Đáp án
Thang điểm
Vẽ hình đúng 

Từ E kẻ EI BC ( I AH )
Tứ giác HDEI cĩ ba gĩc vuơng nên là hình chữ nhật.
 IE = HD mà HD = AH (gt) 
IE = AH
Dể dàng chứng minh được hai tam giác vuơng ABH và EAI bằng nhau , 
suy ra AE = AB.
b)trong tam giác vuơng cân ABE :
cĩ AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên AM = BE (1)
cũng chứng minh tương tự với tam giác vuơng BDE , ta cĩ : DM = BE (2)
từ (1) và (2) suy ra AM = DM ADM cân tại M
gọi K là trung điểm của AD MK AD . trong tam giác vuơng cân AHD thì 
HK AD . tại K chỉ cĩ một đường thẳng duy nhất vuơng gĩc với AD nên MK và HK trùng nhau , nên chính là . Trong tam giác vuơng cân AHK thì = 450
 = 450.

0,5 điểm












0,5 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm


0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm


0,5 điểm

0,25 điểm

(Nếu học sinh giải theo cách khác kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa .)