Đề thi thông tin phát hiệnhọc sinh giỏi bậc trung học cơ sở cấp thị xã môn toán 7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆNHỌC SINH GIỎI 
BẬC THCS CẤP THỊ XÃ 
MÔN TOÁN 7 
NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian : 120’ (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1:(4 điểm):
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
 = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) 
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k 
Do đó (2) 
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đó ta có só A =+( ) + () = . 
b) (1,5 điểm)
Từ suy ra 	
 khi đó 
 	= 	
Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét và có :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vì = = 
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 	0,5 điểm	
b/ (1 điểm )
Xét và có : 
AM = EM (gt )
= ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) 	
Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	
 = - = 40o - 25o = 15o 	
 là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 	
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
suy ra 	
Do đó 	
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
ABC đều nên 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
 Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 	
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
 suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC