Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn thi: Toán 11 – THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BèNH
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI THỬ 01
 01698735393
Mụn thi: Toỏn 11 – THPT
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu)
Câu 1: 
 1)Giải phương trình: (1)
 2)Giải bất phương trỡnh sau:
Câu 2: Cho cỏc tập hợp cỏc số nguyờn liờn tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10},..., trong đú mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nú 1 phần tử, và phần tử đầu tiờn của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cựng của tập hợp ngay trước nú 1 đơn vị. Gọi Sn là tổng của cỏc phần tử trong tập hợp thứ n. Tớnh S999. 
Cõu 3 Cho dóy số (un) xỏc định như sau: 
Tỡm 
Cõu 4 Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trờn hai cạnh AB và AD sao cho I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song song với AC. Hóy xỏc định tỉ số .
Cõu 5 
 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa món a.b.c = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
 b) Cho a, b, c và . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
HD.
Ta cú: P + 3 = 
Để PMin khi a = b = c = 1
-------------------------------Hết-------------------------------
ĐÁP ÁN THI HSG 
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
Điều kiện
Ta có . 
Suy ra
 (1) 
Kết hợp điều kiện (*) ta được .
Điều kiện: 
Khi đú ta cú:
Bất phương trỡnh đó cho tương đương với
Cõu 2
Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyờn liờn tiếp mà số cuối cựng là . Khi đú Sn là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng cú số hạng đầu , cụng sai d=-1(coi số hạng cuối cựng trong tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta cú .
Vậy 
Cõu 3
- CM được dóy tăng : 
- giả sử cú giới hạn là a thỡ : VL
nờn limun = 
- ta cú : 
Vậy : .
Cõu 4
đỏp số 12/29.
Cõu 5
đỏp số : 1/3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BèNH
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI THỬ 02
 01698735393
Mụn thi: Toỏn 11 – THPT
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu)
Cõu 1 Giải phương trỡnh: .
Điều kiện: (*)
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 
+ Với 
+ Với 
Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trỡnh đó cho là:
Câu 2: Cho khai triển . Chứng minh rằng: 
.
 Ta có 
Suy ra hệ số của trong khai triển là 
Mặt khác . Suy ra hệ số của trong khai triển là .
Vậy (đpcm).
Câu 3:Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3...) xỏc định bởi:
a) Hóy xỏc định số hạng tổng quỏt của .
b) Chứng minh rằng số cú thể biểu diễn thành tổng bỡnh phương của ba số nguyờn liờn tiếp.
a)Theo bài ra ta cú:
Thay n bởi n-1 ta được:
Trừ theo từng vế (1) cho (2) được:
 (3)
(do 
Phương trỡnh đặc trưng của (3)
Số hạng tổng quỏt: 
b) Với mỗi số , thỡ tồn tại số để: 
Suy ra
Do vậy, 
Câu 4:Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD là hỡnh vuụng cạnh , SA ^(ABCD), 
SA = 2. Mặt phẳngqua BC tạo với AC một gúc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M và N. Tớnh diện tớch thiết diện BCNM.
Ta cú: 
°Mà:
Suy ra thiết diện BCNM là thang vuụng tại B, M.
°Dựng 
Ta cú: (vỡ Suy ra:
°Tam giỏc ABM vuụng tại A, đường cao AH cú: 
 (tam giỏc ABM vuụng cõn) và 
°Diện tớch hỡnh thang vuụng BCNM:
C
D
N
M
S
H
B
a
A
Câu 5:
 Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
 (1)
Ta có 
 (2)
Ta có 
Do đó 
 . Vậy (2) đúng (đpcm).
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BèNH
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI THỬ 03
 01698735393
Mụn thi: Toỏn 11 – THPT
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang và cú 5 cõu)
Cõu I. Giải hệ phương trỡnh, hệ phương trỡnh.
1)	 	
2) 	
Cõu II. 
Cõu 3. Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận được một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận được cùng một loại đề. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề hợp lệ ?
Cõu IV. 
 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ; SB=SC=SA. SA=a. K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trờn đoạn thẳng AK. Đặt AM=x. 
 1. Chứng minh: SA (ABC)
 2. Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK. Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp
 S.ABC cắt bởi mp(a) cú diện tớch lớn nhất .
Cõu V. 
Cho . Chứng minh: 
....................Hết:....................
Cõu I. Giải hệ phương trỡnh, hệ phương trỡnh.
1)	 	
Điều kiện: 
Vậy ta cú: 
 vụ nghiệm vỡ 
, thay vào (1) ta cú:
Kết luận: 
2) 	
Đặt: 
Ta cú: 
Cõu II. 
Đặt khi thỡ 
Vậy 
Cõu 3. Cho 10 thí sinh ngồi quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, mỗi loại đề có nhiều đề khác nhau. Một cách phát đề gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh nhận được một loại đề và hai thí sinh ngồi cạnh nhau không nhận được cùng một loại đề. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề hợp lệ ?
Lời giải
Gọi là số cách phát đề hợp lệ cho thí sinh .
Ta viết nếu và cùng nhận được một loại đề và trong trường hợp ngược lại.
Xét một cách phát đề hợp lệ cho thí sinh .
- Nếu thì bỏ đi thí sinh ta được một cách phát đề hợp lệ cho thí sinh . Khi đó có 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh (khác với 2 đề của ).
- Nếu thì bỏ đi hai thí sinh ta được một cách phát đề hợp lệ cho thí sinh . Khi đó có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho (cụ thể , còn phát 1 trong 9 đề khác ).
Như vậy ta có hệ thức sau
.
Mặt khác, dễ tính được : .
Do đó tính được .
Cõu IV. 
 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ; SB=SC=SA. SA=a. K là trung điểm của BC; M là điểm nằm trờn đoạn thẳng AK. Đặt AM=x. 
 1. Chứng minh: SA (ABC)
 2. Mặt phẳng (a) qua M và vuụng gúc với AK. Tỡm x để thiết diện của hỡnh chúp
 S.ABC cắt bởi mp(a) cú diện tớch lớn nhất .
1. CM: AB=AC= a ( sử dụng định lớ cosin trong tam giỏc); SAB =SAC(c-g-c) ; vuụng cõn tại A: 
2.BC AK; SA AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N . Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hỡnh chữ nhật PQEF : 
Ta cú : BC=a; AK= a/ 2
Tớnh được 
 M trung điểm AK
Cõu V. 
Cho . Chứng minh: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta cú:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BèNH
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI THỬ 04
 01698735393
Mụn thi: Toỏn 11 – THPT
Thời gian: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu I.Giải phương trỡnh: (1)
Cõu II. Cho dóy {un} xỏc định bởi: 
Thành lập dóy: {Sn} xỏc định bởi: . Tỡm 
Cõu III. Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món abc = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Cõu IV. 
 1)Cho hỡnh chop đỏy là hỡnh thang, đỏy lớn AB. Trờn SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho ,. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K.
	a) Chứng minh rằng: 
	 b) Gọi O là giao điểm của SB với . Chứng minh: 
2) Cho tứ diện đều ABCD cú độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc cỏc cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Đặt . Tỡm để diện tớch toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Cõu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiờn từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đú tổng cỏc chữ số bằng 43. Tớnh xỏc xuất để số được chọn chia hết cho 11.
2) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương sao cho phần nguyờn của là một số nguyờn tố.
Cõu I.Giải phương trỡnh: (1)
	(1)	
Cõu II. Cho dóy {un} xỏc định bởi: 
Thành lập dóy: {Sn} xỏc định bởi: . Tỡm 
Giải:
Tacú:
 Suy ra un là dóy tăng
 Giả sử un bị chặn trờn lỳc đú tồn tại số L sao cho . Từ (*) ta cú :
	 (vụ lý)
 ị un khụng bị chặn trờn. Suy ra 
Mặt khỏc : 
Tương tự 
Cộng vế theo vế ta được : 
 ị 
Cõu III. Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món abc = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: .
HD:
Áp dụng BĐT cauchy ta cú: 
Cõu IV. 
 1)Cho hỡnh chop đỏy là hỡnh thang, đỏy lớn AB. Trờn SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho ,. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K.
	a) Chứng minh rằng: 
	 b) Gọi O là giao điểm của SB với . Chứng minh: 
a) Chứng minh: 
Chỉ ra được Suy ra 
b) Chứng minh: 
Chỉ ra được: 
2) Cho tứ diện đều ABCD cú độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc cỏc cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Đặt . Tỡm để diện tớch toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Kẻ DH MN , do (DMN)(ABC) suy ra DH(ABC).
Mà ABCD là tứ diện đều, nờn suy ra H là tõm của tam giỏc đều ABC.
Ta cú: SAMN =.AM.AN.sin600 =; SAMN = SAMH + SANH 
= .AM.AH.sin300+.AN.AH.sin300 = (x+y). 
Suy ra =(x+y) x+y= 3xy (0x,y1 ). 
Diện tớch toàn phần của tứ diện DAMN:	
S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN = AD.AM.sin600+AD.AN.sin600 
+ DH.MN +AM.AN.sin600. = xy +.
Từ 
Suy ra khi 
Cõu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiờn từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đú tổng cỏc chữ số bằng 43. Tớnh xỏc xuất để số được chọn chia hết cho 11.
Trong cơ số 10, chữ số lớn nhất là 9 nờn tổng d1 + d2 + d3 + d4 + d5 của 5 chữ số lớn nhất bằng 45. Nhưng theo giả thiết, tổng của cỏc chữ số trong số được chọn là 43 = 45 – 2 nờn cú thể xảy ra cỏc trường hợp sau:
Một chữ số là 7, tất cả cỏc chữ số cũn lại đều bằng 9 là 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 : cú 5 số như vậy.
- Hai chữ số đều là 8, ba chữ số cũn lại đều là 9. cú tất cả số như vậy. Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; . . . ; 99988
Vậy tất cả cú 15 số trong đú mỗi số cú 5 chữ số cú tổng bằng 43.
để số được chọn chia hết cho 11 thỡ cần và đủ là:
 d1 - d2 + d3 - d4 + d5 chia hết cho 11
Chỉ cú 3 số trong 15 số núi trờn thoả món điều kiện đú:
97999 ; 99979 và 98989. Nờn xỏc xuất cần tỡm là 
2) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương sao cho phần nguyờn của là một số nguyờn tố.
Gọi S là tập hợp cỏc số nguyờn tố
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2:
Trường hợp 3: 
Kết luận: