Đề thi thử đại học – cao đẳng lần III - 2014 môn: toán – khối a, b, a1 thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
TỔ TOÁN – TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG LẦN III - 2014
MÔN: TOÁN – KHỐI A, B, A1 
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với m là tham số. 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
Tìm m để đường thẳng d: cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C và gốc tọa độ O cách đều hai điểm B và C, biết điểm A có hoành độ bằng 1.
Câu II. (2,0 điểm)
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân: 
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB = AC = a và M là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.BMC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm thỏa mãn: . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
B. PHẦN RIỂNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần I hoặc II )
I. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: và d2:. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc Ox, tiếp xúc d1 và cắt d2 tại A, B với diện tích tam giác IAB bằng . 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt
cầu đi qua ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P). 
Câu VIIa. (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên, mỗi số có bốn chữ số khác nhau được chọn từ
 các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tính số phần tử của S. Từ S chọn ngẫu nhiên một số, tính xác suất để số
 được chọn là số lẻ và số lẻ đó có mặt chữ số 5. 
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có C(5;-7), A thuộc đường thẳng d1: , đường thẳng đi qua điểm D và trung điểm của BC có phương trình d2: . Tìm tọa độ các điểm A và B, biết A có hoành độ dương.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):. Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua điểm vuông góc với mặt phẳng (Q): và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu VIIb. (1,0 điểm) Tìm số phức , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: .
.....Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
TỔ TOÁN – TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG LẦN III - 2014
MÔN: TOÁN – KHỐI D 
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với m là tham số. 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
Tìm m để đường thẳng d: cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C và gốc tọa độ O cách đều hai điểm B và C, biết điểm A có hoành độ bằng 1.
Câu II. (2,0 điểm)
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân: 
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB = AC = a và M là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.BMC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm thỏa mãn: . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
B. PHẦN RIỂNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần I hoặc II )
I. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: và d2:. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc Ox, tiếp xúc d1 và cắt d2 tại A, B với diện tích tam giác IAB bằng . 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): . Viết phương trình mặt
cầu đi qua ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P). 
Câu VIIa. (1,0 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên, mỗi số có bốn chữ số khác nhau được chọn từ
 các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tính số phần tử của S. Từ S chọn ngẫu nhiên một số, tính xác suất để số
 được chọn là số lẻ và số lẻ đó có mặt chữ số 5. 
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có C(5;-7), A thuộc đường thẳng d1: , đường thẳng đi qua điểm D và trung điểm của BC có phương trình d2: . Tìm tọa độ các điểm A và B, biết A có hoành độ dương.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):. Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua điểm vuông góc với mặt phẳng (Q): và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Câu VIIb. (1,0 điểm) Tìm số phức , biết n là số nguyên dương thỏa mãn: .
.....Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 3- 2014
KHỐI A-B-A1
Câu
Đáp án
Điểm
I.1
m = 0 ta có 
+) TXĐ: R
+) Sự biến thiên: 
0,25
BBTx
y’
y
- ∞
∞∞
0
2
+ ∞
∞∞
0
0
 +
 -
 +
 - ∞
2
-2
+ ∞
∞∞
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞); nghịch biến trên khoảng (0; 2) và (0;1). 
xCĐ = 0, yCĐ = y(0) = 2; xCT = 2, yCT = y(2) = -2.
0,5
+) Đồ thị : đồ thị giao với trục Oy tại điểm (0;2)
 Vẽ đúng
 0,25
I.2
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị (1) là nghiệm PT: . 
0,25
d cắt đồ thị (1) tại 3 điểm phân biệt khi PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
 ( vì P < 0) 
0,25
Ta có , do đó O cách đều B, C 
 ( vì xB ≠ xC ) 
0,25
Mà là giá trị cần tìm. 
0,25
II.1
 Ta có 
0,25
 0,25
0,25
 0,25
II.2
Giải hệ: 
Trừ (1) cho (2) theo vế ta được: 
 0,25
Xét hàm số , ta có 
Suy ra f đồng biến trên R. 
 0,25
Từ (3) ta có f(x) = f(y+1), do f đồng biến / R nên suy ra x = y + 1, thế vào (2) ta được:
 0,25
 . 
KL: Hệ đã cho có nghiệm: 
 0,25
III
Ta có 
 0,25
 0,5
 0,25
IV
*Tính thể tích chóp S.BMC 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếpBMC; N,I lần lượt là trung điểm của BC và MB. 
Do ABC vuông cân tại A nên A, N, O thẳng hàng và OI // AC.
 Góc giữa SA và (ABC) là .
+ AIO vuông cân tại I có 
+ Suy ra 
 A
B
S
O
C
M
I
N
H
K
0,5
*Tính khoảng cách từ B đến (SAC).
Ta có 
Vì . 
+ Dựng tại H và tại K. (1)
Do: (2)
 (1) và (2) suy ra . Trong tam giác vuông SOH ta có: . Vậy 
0,5
V
Với hai số không âm a,b ta có . 
Thật vậy, luôn đúng. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
 Áp dụng (1) ta có Suy ra hay (2)
0,5
Khi đó (3)
Chú ý rằng, từ (2) và x,y,z không âm ta có . 
Xét hàm số với . Ta có 
 ; 
Từ (4)
Từ (3) và (4) ta có , dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 0, z = 4 hoặc x = z = 0, y = 4.
 Vậy GTLN của P là 64, đạt được khi x = y = 0, z = 4 hoặc x = z = 0, y = 4. 
0,5
VIa.1
Gọi I(t;0) và R là bán kính đường tròn (C) cần tìm. Hạ H là trung điểm AB.
0,25
Ta có 
0,25
Do đó 
0,25
 0,25
VIa.2
Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu cần tìm. Từ gt ta có: a + b + c – 2 = 0 (1) 
 0,25
Theo gt ta có , suy ra hệ: 
0,25
Giải (1) và (2) ta được R = 
 0,25
Phương trình mặt cầu: 
 0,25
VII.a 
Mỗi số cần tìm là một chỉnh hợp chập 4 của 7
 0,25
Do đó số phần tử của S là 
 0,25
Gọi A là biến cố cần tìm, ta có 
 0,25
KL: Xác suất cần tìm là 
 0,25
VIb.1
. Gọi . Khi đó theo định lí Ta lét : 
Mà . Vậy A(1;5)
 A
B
C
D
I
M
 0,25
Gọi M là trung điểm của BC 
0,25
Ta có 
0,25
Với t = -3 thì B(-3;-3). Với 
 0,25
VIb.2
Gọi là VTPT của mặt phẳng (P), suy ra phương trình mặt phẳng (P): 
 0,25
Mặt phẳng (Q) có VTPT là ; 
 0,25
Do (P) tiếp xúc với (S) nên 
 0,25
Từ (1) và (2) suy ra B = 0; C = 0, A ≠ 0 hoặc A = 3B, C = 3/2 B. Do đó 
(P): x – 1 = 0 hoặc (P): 6x + 2y + 3z -7=0
 0,25
VIIb
Ta có .
0,25
Mà 
0,25
0,25
KL: .
0,25
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 3- 2014
KHỐI D
Câu
Đáp án
Điểm
I.1
m = 0 ta có 
+) TXĐ: R
+) Sự biến thiên: 
0,25
BBTx
y’
y
- ∞
∞∞
0
2
+ ∞
∞∞
0
0
 +
 -
 +
 - ∞
2
-2
+ ∞
∞∞
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞); nghịch biến trên khoảng (0; 2) và (0;1). 
xCĐ = 0, yCĐ = y(0) = 2; xCT = 2, yCT = y(2) = -2.
0,5
+) Đồ thị : đồ thị giao với trục Oy tại điểm (0;2)
 Vẽ đúng
 0,25
I.2
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị (1) là nghiệm PT: . 
0,25
d cắt đồ thị (1) tại 3 điểm phân biệt khi PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
 ( vì P < 0) 
0,25
Ta có , do đó O cách đều B, C 
 ( vì xB ≠ xC ) 
0,25
Mà là giá trị cần tìm. 
0,25
II.1
 Ta có 
0,25
 0,25
0,25
 0,25
II.2
Giải hệ: 
PT(2) và 
 0,25
Do đó y = x + 1 và y = 2x. 
 0,25
Khi y = x + 1, ta có: , mà là hàm số đồng biến trên và f(1) = 1 nên nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (1; 2).
 0,25
Khi y = 2x . Tương tự nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 2).
KL: Hệ đã cho có nghiệm: 
 0,25
III
Đặt 
 0,25
Đổi cận: Khi 
 0,25
Suy ra 
 0,25
Kết luận: 
 0,25
IV
*Tính thể tích chóp S.BMC 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếpBMC; N,I lần lượt là trung điểm của BC và MB. 
Do ABC vuông cân tại A nên A, N, O thẳng hàng và OI // AC.
 Góc giữa SA và (ABC) là .
+ AIO vuông cân tại I có 
+ Suy ra 
 A
B
S
O
C
M
I
N
H
K
0,5
*Tính khoảng cách từ B đến (SAC).
Ta có 
Vì . 
+ Dựng tại H và tại K. (1)
Do: (2)
 (1) và (2) suy ra . Trong tam giác vuông SOH ta có: . Vậy 
0,5
V
Với hai số không âm a,b ta có . 
Thật vậy, luôn đúng. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
 Áp dụng (1) ta có Suy ra hay (2)
0,5
Khi đó (3)
Chú ý rằng, từ (2) và x,y,z không âm ta có . 
Xét hàm số với . Ta có 
 ; 
Từ (4)
Từ (3) và (4) ta có , dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 0, z = 4 hoặc x = z = 0, y = 4.
 Vậy GTLN của P là 64, đạt được khi x = y = 0, z = 4 hoặc x = z = 0, y = 4. 
0,5
VIa.1
Gọi I(t;0) và R là bán kính đường tròn (C) cần tìm. Hạ H là trung điểm AB.
0,25
Ta có 
0,25
Do đó 
0,25
 0,25
VIa.2
Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu cần tìm. Từ gt ta có: a + b + c – 2 = 0 (1) 
 0,25
Theo gt ta có , suy ra hệ: 
0,25
Giải (1) và (2) ta được R = 
 0,25
Phương trình mặt cầu: 
 0,25
VII.a 
Mỗi số cần tìm là một chỉnh hợp chập 4 của 7
 0,25
Do đó số phần tử của S là 
 0,25
Gọi A là biến cố cần tìm, ta có 
 0,25
KL: Xác suất cần tìm là 
 0,25
VIb.1
. Gọi . Khi đó theo định lí Ta lét : 
Mà . Vậy A(1;5)
 A
B
C
D
I
M
 0,25
Gọi M là trung điểm của BC 
0,25
Ta có 
0,25
Với t = -3 thì B(-3;-3). Với 
 0,25
VIb.2
Gọi là VTPT của mặt phẳng (P), suy ra phương trình mặt phẳng (P): 
 0,25
Mặt phẳng (Q) có VTPT là ; 
 0,25
Do (P) tiếp xúc với (S) nên 
 0,25
Từ (1) và (2) suy ra B = 0; C = 0, A ≠ 0 hoặc A = 3B, C = 3/2 B. Do đó 
(P): x – 1 = 0 hoặc (P): 6x + 2y + 3z -7=0
 0,25
VIIb
Ta có .
0,25
Mà 
0,25
0,25
KL: .
0,25