Đề thi thử đại học lần 1 Môn: toán; khối B – năm học: 2013 - 2014 Trường THPT Chuyên Quốc Học – Huế

 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC – HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 
 Tổ Toán Môn: TOÁN; khối B – Năm học: 2013 - 2014 
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
 --------------------------------- 
 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 3 2= − +y x x . 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
 b) Gọi d là đường thẳng đi qua ( )2;4A và có hệ số góc là k . Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao 
 cho tam giác OBC cân tại O (với O là gốc tọa độ). 
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 cos 2cot
sin 2 cos
= −
x
x
x x
 ( )∈
x . 
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2
2 4
13 41 21 9
 − = +

− + = −
x y x y
x xy y
 ( );x y ∈
 . 
Câu 4 (1,0 điểm). Tính các giới hạn sau: 
 a) ( ) 3lim 4 sin
x
x
x→+∞
+ . 
 b) 
3
2
2 3. 3 5 1
lim
2x
x x
x→
− − −
−
. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của 
cạnh AB, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam 
giác BMC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng 
cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x ; y ; z là các số thực dương thay đổi sao cho 2x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2 2F x y z xyz= + + + . 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD. Các đỉnh B và D lần lượt thuộc các 
đường thẳng 
1
: 8 0d x y+ − = và 
2
: 2 3 0d x y− + = . Đường thẳng AC có phương trình là 7 31 0+ − =x y . Tìm tọa độ 
các đỉnh của hình thoi ABCD biết diện tích hình thoi ABCD bằng 75 và điểm A có hoành độ âm. 
Câu 8a (1,0 điểm). Cho 
3 1
5log 9 75
x
a
− +
= và ( )151 log 3 155 xb −− += . Tìm các số thực x biết rằng số hạng chứa 3a trong khai 
triển Niu-tơn của ( )8a b+ là 224. 
Câu 9a (1,0 điểm). Tìm các số thực m để bất phương trình 2 22 2 14 .2 0x x x xm m− − ++ + ≤ nghiệm đúng với mọi [ ]0;2x∈ . 
A. Theo chương trình Nâng cao 
Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ( )4;3C ; đường phân giác trong và 
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác lần lượt có phương trình là 2 5 0x y+ − = và 4 13 10 0x y+ − = . Viết 
phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC. 
Câu 8b (1,0 điểm). Chứng minh rằng: 2 1 2 2 2 2012 2 2013 2011
2013 2013 2013 2013
1 2 ... 2012 2013 2013 2014 2C C C C+ + + + = × × . 
Câu 9b (1,0 điểm). Tìm các số thực m để phương trình 22 9m x x m+ = + có đúng một nghiệm thực. 
 
-------------HẾT------------- 
 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:…………………………………………..Số báo danh:………… 
 
 
 
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐÁP ÁN THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 
 Tổ Toán Môn: TOÁN; khối B – Năm học: 2013 - 2014 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Câu Đáp án Điểm 
1a 
 
• Tập xác định: = 
D 
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: 2' 3 3= −y x ; 2' 0 1 0 1y x x= ⇔ − = ⇔ = ± . 
0,25 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )1;+∞ ; nghịch biến trên khoảng ( )1;1− . 
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1x = − , 
C§
4y = ; đạt cực tiểu tại 1x = , 
CT
0y = . 
- Giới hạn: lim
→+∞
= +∞
x
y và lim
→−∞
= −∞
x
y . 
0,25 
- Bảng biến thiên: 
 
0,25 
• Đồ thị: 
x
y
2-2
4
2
-1 1O
 
0,25 
1b Đường thẳng d qua ( )2;4A với hệ số góc k có phương trình là: 2 4y kx k= − + . 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 3 3 2 2 4x x kx k− + = − + 
( ) ( )22 2 1 0x x x k⇔ − + − + = 
2x⇔ = hoặc ( )2 2 1 0 *x x k+ − + = 
0,25 
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 
( )1 1 0 0
99 0
k k
kk
 − − > >
⇔ ⇔ 
≠
− ≠ 
 (**) 
O, B, C không thẳng hàng 2O d k⇔ ∉ ⇔ ≠ . (***) 
0,25 
Theo định lý Vi-ét: 2
1
B C
B C
x x
x x k
+ = −

= −
 . Ta có ( ) ( ) ( )2 4 2 4B C B C B Cy y kx k kx k k x x− = − + − − + = − 
và ( ) ( ) ( )2 4 2 4 4 8 6 8B C B C B Cy y kx k kx k k x x k k+ = − + + − + = + − + = − + . 
Tam giác OBC cân tại O 2 2 2 2
B B C C
OB OC x y x y⇔ = ⇔ + = + 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 6 8B C B C C B C B B C B Cx x x x y y y y x x k x x k⇔ + − = − + ⇔ − − = − − − + 
0,25 
0
4
1 -1
+ +
x
y '
y 
-∞ +∞
0 - 0 
+∞ 
-∞
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
( )2 6 8k k⇔ − = − − + (vì B Cx x≠ ) 
23 4 1 0 1k k k⇔ − + = ⇔ = hoặc 1
3
k = (thỏa (**) và (***)). 0,25 
2 
Điều kiện: ( )cos 0 
sin 0 2
pi≠
⇔ ≠ ∈
≠

x k
x k
x
. 
Phương trình đã cho tương đương với: cos 1 cos 2
sin sin cos cos
= −
x x
x x x x
 
0,25 
( )2 2cos 1 sin cos 2 sin cos 2 sin sin cos 2 sin 0⇔ = − ⇔ = ⇔ − =x x x x x x x x x 0,25 
cos2 sin 0x x⇔ − = (vì sin 0≠x ) 
2
sin 1
2sin sin 1 0 1
sin
2
x
x x
x
= −
⇔ + − = ⇔
 =

 
• sin 1 2
2
x x k
pi
pi= − ⇔ = − + ( )∈k (không thỏa mãn điều kiện). 
0,25 
• 
2 
1 6
sin
2 5
2
6
x k
x
x k
pi
pi
pi
pi

= +
= ⇔ 

= +

 ( )k∈ (thỏa mãn điều kiện). 0,25 
3 3 3
2 2
2 4 (1)
13 41 21 9 (2)
 − = +

− + = −
x y x y
x xy y
 
Nhân vế trái (1) với vế phải (2) và vế phải (1) với vế trái (2), ta được phương trình: 
( ) ( )( )3 3 2 2 3 2 2 39 2 4 13 41 21 22 11 143 66 0x y x y x xy y x x y xy y− − = + − + ⇔ + − + = 
0,25 
( ) ( )( )2 2 3 0 2x y x y x y y x⇔ − − + = ⇔ = hoặc 2x y= hoặc 3x y= − . 0,25 
Thay 2=y x vào (1), ta được: ( ) 31 15 9 0 0⇔ + = ⇔ =x x x , lúc đó 0y = . Thử lại 0x y= = 
không phải nghiệm của hệ đã cho. 
Thay 3= −x y vào (1), ta được: ( ) 31 29 0 0⇔ + = ⇔ =y y y , lúc đó 0x = . Thử lại 0x y= = 
không phải nghiệm của hệ đã cho. 
0,25 
Thay 2=x y vào (1), ta được: ( ) 31 0 0⇔ − = ⇔ =y y y hoặc 1y = ± . 
• 0y = thì 0x = , thử lại không phải nghiệm của hệ đã cho. 
• 1y = thì 2x = , thử lại thỏa mãn hệ đã cho. 
• 1y = − thì 2x = − , thử lại thỏa mãn hệ đã cho. 
Vậy hệ có hai nghiệm là ( ) ( ); 2;1x y = và ( ) ( ); 2; 1x y = − − . 
0,25 
4 
a/ ( ) ( )
3 3
sin sin3 43 4
lim 4 sin lim . lim 3 1 .
3 3x x x
x x xx
x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+  
+ = = + 
 
 0,25 
Vì 4lim 3 1 3
x x→+∞
 
+ = 
 
 và 3lim 0
x x→+∞
= nên 
3
sin
lim 1
3x
x
x
→+∞
= . Suy ra ( ) 3lim 4 sin 3
x
x
x→+∞
+ = . 0,25 
b/ 
3 3
2 2
2 3. 3 5 1 3 5 1 2 3 1
lim lim 2 3.
2 2 2x x
x x x x
x
x x x→ →
 
− − − − − − −
= − + 
− − − 
 
 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) ( ) ( )( )2 2 33
3 6 2 4
lim 2 3.
2 2 3 12 3 5 3 5 1
x
x x
x
x xx x x
→
 
 
− −
= − + 
 
− − + 
− − + − + 
   
 0,25 
( )22 33
3 2 3 2
lim 1 1 2
2 3 13 5 3 5 1
x
x
xx x
→
 
− 
= + = + =
 
− +
− + − + 
. 0,25 
5 
H
N
M
A C
B
S
O
Gọi N, H lần lượt là trung điểm của BC và MB. Suy ra AN là 
trung trực của BC và trung trực của MB là đường thẳng d đi 
qua H và song song với AC. 
Suy ra O là giao điểm của AN và d. 
Ta có ( )SO ABC⊥ nên góc giữa đường thẳng SB và mặt 
phẳng (ABC) là góc  60oSBO = . 
Tam giác HAO vuông cân tại H nên 3 3
4 4
a
HO HA AB= = = . 
 
0,25 
Tam giác BHO vuông tại H nên 2 2 10
4
a
BO BH HO= + = . Ta có: 30.tan 60
4
= =
o aSO BO ; 
Do đó: 
3
.
1 30
. .
3 24∆
= =S ABC ABC
aV S SO . 
0,25 
Vì ( )SO ABC⊥ và OH AB⊥ nên SH AB⊥ . 
Suy ra 2 2 39
4
a
SH SO OH= + = và 
21 39
.
2 8∆
= =SAB
aS AB SH . 
0,25 
( ) .3 130,( )
13∆
= =
S ABC
SAB
V ad C SAB
S
. 0,25 
6 Không mất tính tổng quát, giả sử z là số nhỏ nhất. Lúc đó 0 1z ). 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 1 2 2 1F x y z xy z z z xy z= + + + − = − + − − . 0,25 
 
Mặt khác 
2 2
2
2 2
x y z
xy
+ −   ≤ =   
   
 nên ( ) ( )
2
2
2 1 2 1
2
z
xy z z
− 
− − ≥ − − 
 
. 
Từ đó ( )3 21 4
2
F z z≥ − + (1) 
0,25 
 Xét ( ) ( )3 21 4
2
f z z z= − + với 0 1z< < . Ta có ( ) ( ) ( )21 2' 3 2 0 0;1
2 3
f z z z z= − = ⇔ = ∈ . 
Bảng biến thiên: 
 
 
 
0,25 
52 
27 
+
z
f '(z )
f (z)
1
2
3
- 0
0
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 52
27
f z ≥ (2) 
Từ (1) và (2) ta có 52
27
F ≥ . Vậy 
min
52
27
F = đạt được khi 2
3
x y z= = = . 
0,25 
7a ( )1 ;8B d B b b∈ ⇔ − và ( )2 2 3;D d D d d∈ ⇔ − . Suy ra ( )2 3; 8BD b d d b= − + − + −

. 
I là trung điểm của BD nên 2 3 8;
2 2
b d d b
I
+ − − + 
 
 
. 
0,25 
Theo tính chất hình thoi: 
8 13 13 0 0. 0
2 3 3 0 1
AC
BD AC b d bu BD
I AC b d dI AC
⊥ − + = =  =
⇔ ⇔ ⇔   
∈ − + = =∈  
 
 . 
Vậy ( ) ( ) 1 90;8 , 1;1 , ;
2 2
B D I
 
− − 
 
. 
0,25 
Ta có ( )7 31;A AC A a a∈ ⇔ − + . 1 2 15. 15 2
2 2 2
ABCD
S AC
S AC BD AC IA
BD
= ⇒ = = ⇒ = = . 0,25 
Ta có 
22 2
15 63 9 15
7 3
2 22 2
IA a a a
    
= ⇔ − + + − = ⇔ =     
     
 hoặc 6a = . 
Suy ra ( )10;3A hoặc ( )11;6A − . Do 0Ax < nên ( )11;6A − , từ đó ( )10;3C . 
0,25 
8a 
Ta có ( )1319 7xa −= + ; ( ) 1513 1xb −−= + . 0,25 
Số hạng chứa 3a trong khai triển Niu-tơn của ( )8a b+ là: 
( ) ( ) ( )( )
3 5
1 1
1
5 3 5
8
1 1 1 19 7 . 3 1 56 9 7 3 1x x x xC
− −
− − − −
   
+ + = + +   
   
. 
0,25 
Theo giả thiết, ta có: ( )( ) ( )1 21 1 1 156 9 7 3 1 224 3 4.3 3 0x x x x−− − − −+ + = ⇔ − + = 0,25 
1
1
3 1 1
23 3
x
x
x
x
−
−
 = =
⇔ ⇔ 
== 
. 0,25 
9a 
Đặt 
2 22x xt −= . Vì 0 2x≤ ≤ nên 1 1
2
t≤ ≤ . 0,25 
Bất phương trình đã cho trở thành: ( )22 2 0
2 1
t
t mt m m f t
t
−
+ + ≤ ⇔ ≤ =
+
 với 1 1
2
t≤ ≤ . 0,25 
Ta có ( ) ( )
2
2
2 2 1
' 0, ;1
22 1
t t
f t t
t
− −  
= < ∀ ∈ 
 +
, hơn nữa ( )f t liên tục trên đoạn 1 ;1
2
 
 
 
 nên suy ra 
hàm số ( )f t nghịch biến trên đoạn 1 ;1
2
 
 
 
. 
0,25 
Do đó ( ) ( ) ( )
1
;1
2
1 1
, ;1 min 1
2 3
m f t t m f t m f m
 
 
 
 ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − 
 
. 0,25 
7b Gọi AD là phân giác trong và AM là trung tuyến . Tọa độ của A là nghiệm của hệ: 
2 5 0 9
4 13 10 0 2
x y x
x y y
+ − = = 
⇔ 
+ − = = − 
. 
Vậy ( )9; 2A − . Từ đó phương trình AC là: 7 0x y+ − = . 
0,25 
Gọi C' là điểm đối xứng của C qua đường phân giác trong AD thì C' thuộc AB. 
Đường thẳng CC' qua ( )4;3C và vuông góc với AD nên có phương trình: 2 5 0x y− − = . 0,25 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Gọi H là giao điểm của CC' và AD thì H(3;1). Từ đó ( )' 2; 1C − . 
Suy ra phương trình AB là 7 5 0x y+ + = . 
0,25 
Đường thẳng MH qua H(3;1) và song song với AB nên có phương trình 7 10 0x y+ − = . 
Vì M là giao điểm của MH và AM nên ( )4;2M − . Suy ra phương trình BC là 8 20 0x y− + = . 
Thử lại ta thấy các điểm B, C nằm về hai phía của đường thẳng AD nên AD là đường phân giác 
trong của tam giác ABC. Vậy : 7 0; : 7 5 0AC x y AB x y+ − = + + = và : 8 20 0BC x y− + = . 
0,25 
8b Ta có ( )2013 0 1 2 2 2012 2012 2013 20132013 2013 2013 2013 20131 ...x C C x C x C x C x+ = + + + + + . 0,25 
Lấy đạo hàm 2 vế, ta được: 
( )2012 1 2 2012 2011 2013 20122013 2013 2013 20132013 1 2 ... 2012 2013x C C x C x C x+ = + + + + (1) 0,25 
Nhân 2 vế của 1 với x, ta được: 
( )2012 1 2 2 2012 2012 2013 20132013 2013 2013 20132013 1 2 ... 2012 2013x x C x C x C x C x+ = + + + + 
Lấy đạo hàm 2 vế, ta được: 
( ) ( )2011 1 2 2 2 2012 2011 2 2013 20122013 2013 2013 20132013 1 2013 1 2 ... 2012 2013x x C C x C x C x+ + = + + + + . 
0,25 
Cho 1x = , ta được 2 1 2 2 2 2012 2 2013 2011
2013 2013 2013 2013
1 2 ... 2012 2013 2013 2014 2C C C C+ + + + = × × (đpcm). 0,25 
9b Ta có phương trình đã cho tương đương với: 
22 9 1
x
m
x
=
+ −
 
Xét hàm số ( )
22 9 1
x
f x
x
=
+ −
 có tập xác định D = 
 . 
( ) ( )( )( )
2
2
2 2 2
2 36
'
2 9 9 2 9 2 9 1
x
f x
x x x
−
=
+ + + + −
. 
0,25 
( ) ( ) ( )3 3' 0 6; 6 ; 6
4 4
f x x f f= ⇔ = ± = − = − và ( ) ( )1 1lim ; lim
2 2x x
f x f x
→+∞ →−∞
= = − . 0,25 
Bảng biến thiên: 
 
0,25 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
Phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 3
4
m = ± hoặc 1 1
2 2
m− ≤ ≤ . 0,25 
 
HẾT 
f(x)
1 
2
3 
4 
-3
4
6 -6 
-1 
2 
0 - 0
+∞ - ∞ 
f'(x)
x
-+
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com