Đề thi thử đại học lần 2 môn thi: Toán; khối A, A1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP 
 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2014 
 MễN THI: TOÁN; KHỐI A, A1. 
 Thời gian: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( )4 22 2 3 2y x m x m= - + + - - (1) với m là tham số. 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) với 0m = . 
b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phõn biệt cú hoành độ 
lập thành một cấp số cộng. 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: ( )
11 (sin cos ) sin 2
12 1 cot
21 tan
4
p
+ - +
= +
ổ ử+ -ỗ ữ
ố ứ
x x x
x
x
. 
Cõu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: 
2
3 3
2( ) 2( 1) 2 1 0
2 2 2 1
2
ỡ + + + + - =
ù
ớ ổ ử+ = + + -ù ỗ ữ
ố ứợ
y x y y x
xx y xy x x
. 
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: 
ln8
ln3
1 ln(1 1)
1
ộ ự- + +
ở ỷ=
+
ũ
x x
x
e e
I dx
e
. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, , 2AB a BC a= = , 
mặt bờn ACC’A’ là hỡnh vuụng. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, CC’, A’B’ và H là hỡnh 
chiếu của A lờn BC. Tớnh thể tớch khối chúp A’.HMN và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MP và HN. 
Cõu 6 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực dương , ,a b c . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
( )
( )( ) ( )
2
2 2 2
32
3 1 1 11
a b c
P
a b ca b c
+ + +
= -
+ + ++ + +
. 
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm): Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trỡnh Chuẩn 
Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hỡnh vuụng ABCD , cú điểm (4;2)M là trung 
điểm BC, điểm E thuộc cạnh CD sao cho 3CE DE= , phương trỡnh đường thẳng AE: 4 4 0x y+ - = . 
Tỡm tọa độ đỉnh A biết A cú tung độ dương. 
Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 3 2 3 1 0P x y z+ + - = và 
điểm ( )4;1;3A . Viết phương trỡnh đường thẳng D đi qua A song song với mặt phẳng (P) và D cắt đường 
thẳng 3 3 2:
3 2 2
x y zd - - += =
-
. 
Cõu 9.a (1,0 điểm). Tỡm số phức z thỏa món: 1 3 1
3
+ -
=
+ -
z i
z i
 và 3z = . 
B. Theo chương trỡnh Nõng cao 
Cõu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường elip (E) cú tõm sai 4
5
e = , đường trũn ngoại tiếp 
hỡnh chữ nhật cơ sở của elip cú phương trỡnh 2 2 34+ =x y . Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip và tỡm 
tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho M nhỡn hai tiờu điểm dưới một gúc vuụng và M cú hoành độ dương. 
Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho cỏc đường thẳng 1
4 1:
1 1 2
x y zd - += =
-
; 
2
2
1 3 3
: x yd z-= =
- -
 và 3
1 1 1
5 2 1
: x y zd + - += = . Viết phương trỡnh đường thẳng D, biết D cắt ba đường 
thẳng 1 2 3, , d d d lần lượt tại cỏc điểm A, B, C sao cho AB BC= . 
Cõu 9.b (1,0 điểm). Chứng minh rằng 0 4 8 2012 2 6 10 20142014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014... ...C C C C C C C C+ + + + = + + + + . 
---HẾT--- 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh:.. Số bỏo danh:. 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 MễN TOÁN NĂM 2014 KHỐI A 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
ã Với 0m = ta cú 4 24 3y x x= - + - . Tập xỏc định: R . 
ã Sự biến thiờn: +) Giới hạn: lim lim
x x
y y
đ-Ơ đ+Ơ
= = -Ơ . 
+) Bảng biến thiờn: 3' 4 8 ; ' 0 0y x x y x= - + = Û = hoặc 2x = ± 
0,25 
x -Ơ 2- 0 2 +Ơ 
y’ + 0 - 0 + 0 - 
y 1 1 
-Ơ 3- -Ơ 
0,25 
1.a 
 +) Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ( ); 2-Ơ - và 
( )0; 2 . 
Nghịch biến trờn mỗi khoảng ( )2;0- và ( )2;+Ơ . 
+) Hàm số đạt cực đại tại =± = ± =CĐ CĐ2, ( 2) 1x y y , 
đạt cực tiểu tại ( )= = = -0; 0 3CT CTx y y 
ã Đồ thị: 
0,25 
+ 
0,25 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm: ( )4 22 2 3 2 0x m x m- + + - - = (1) 
Đặt ( )= ³2 0t x t , phương trỡnh (1) trở thành: ( ) ( )- + + + =2 2 2 3 2 0 2t m t m 
(1) cú bốn nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi (2) cú hai nghiệm dương phõn biệt. 
0,25 
Điều kiện là: ( )
ỡD > + + >ỡ ỡ > -ùù ù> Û + > Ûớ ớ ớ
ù ù ù ạ -> + > ợợ ợ
2' 0 2 1 0 3
0 2 0 *2
10 3 2 0
m m
m
S m
mP m
 0,25 
Với điều kiện (*), giả sử < <1 2 1 2, (0 )t t t t là hai nghiệm phõn biệt của (2), khi đú (1) cú 
bốn nghiệm phõn biệt là: = - = - = =1 2 2 1 3 1 4 2, , ,x t x t x t x t . 1 2 3 4, , ,x x x x lập thành 
một cấp số cộng khi và chỉ khi: - = - = -2 1 3 2 4 3x x x x x x Û =2 19t t (a) 
Áp dụng định lớ Viet ta cú: ( )+ = + = +1 2 1 22 2 , 3 2t t m t t m (b) 
0,25 
1.b 
Từ (a), (b) ta cú: - - = Û =29 14 39 0 3m m m hoặc = - 13
9
m 
Đối chiếu điều kiện (*) ta cú: = 3m hoặc = - 13
9
m . 
0,25 
Điều kiện: pp pạ ạ +3,
4
x k x k . Phương trỡnh đó cho tương đương với: 0,25 
1 1 tan 2tan1 sin sin 2 . . sin sin 2 0 sin 2 sin
4 2 tan 1 tan 4 4
p p p+ổ ử ổ ử ổ ử+ - + = Û - + = Û = -ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ+ố ứ ố ứ ố ứ
x xx x x x x x
x x
 0,25 
p
pÛ = - +2 2
4
x x k hoặc p p= + +32 2
4
x x k
p p
Û = +
2
12 3
x k hoặc p p= +3 2
4
x k 0,25 
2 
Đối chiếu điều kiện ta cú 172 , 2
12 12
x k x k
p
p p p= + = + 0,25 
( )
( )
2
3 3
2( ) 2( 1) 2 1 0 1
2 2 2 1 2
2
ỡ + + + + - =
ù
ớ ổ ử+ = + + -ù ỗ ữ
ố ứợ
y x y y x
xx y xy x x
. Điều kiện: 1
2
x ³ . 0,25 3 
Ta cú: ( )2(1) 1 2 1 0 1 2 1 0 (*)y x y xÛ + + - = Û = - - - < 0,25 
Thế vào (2) ta cú: ( ) ( ) ( )Û + = + + - Û + = -3 3 3 32 2 1 2 1 2x y xy x x x y xy x y 
Û - + + = Û - + + = Û = - Û = -
ổ ử ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
3 2
3 2 2 3 12 0 2 1 0 2 (**)
2
x x x x
x x y xy y y x
y y y y
0,25 
Thế (**) vào (*) ta cú: ( )2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1x x x x x- = - Û - - - = Û = hoặc = 1
2
x 
Vậy hệ cú hai nghiệm: ( ) ( ); 1; 2x y = - hoặc ( ) = -ổ ửỗ ữ
ố ứ
1
; ; 1
2
x y 
0,25 
ln 8 ln 8
ln 3 ln 3
ln(1 1 )
1 1
x x x
x x
e dx e e
I dx
e e
+ +
= -
+ +
ũ ũ 0,25 
ln8ln8 ln8
ln3 ln3 ln3
( 1)
2 1 2
1 1
x x
x
x x
e dx d e
e
e e
+
= = + =
+ +
ũ ũ . Áp dụng cụng thức tớch phõn từng phần, ta cú: 0,25 
ln8 ln8 ln8ln8
ln3
ln3 ln3 ln3
ln(1 1 )
2 ln(1 1 ) (1 1) 2(1 1)ln(1 1 ) 2 (1 1)
1
x x
x x x x x
x
e e
dx e d e e e d e
e
+ +
= + + + + = + + + + - + +
+
ũ ũ ũ
ln 8 ln 8
ln 3 ln 3
2 (1 1) ln(1 1 ) 2 (1 1) 2(4 ln 4 3ln 3) 2x x xe e e= + + + + - + + = - - 
0,25 
4 
Vậy 4 2(4 ln 4 3ln3)I = - - 0,25 
Ta cú: = - =2 2 3AC BC AB a .Vỡ ACC’A’ là 
hỡnh vuụng cú cạnh bằng 3a nờn: 'A MNS = 
' ' ' 'ACC A A AM A NC CMNS S S S- - - = = =
2 2
' '
3 3 9
3
8 8 8ACC A
S a a 
0,25 
EP
H
N
M
C'
B'
A
B
C
A'
Ta cú: ^ ^ ị ^, ' ( ' ')AB AC AB AA AB ACC A 
Xột tam giỏc ABC vuụng tại A cú: 
= ị = =
2
2 3.
2
AC a
CH BC AC CH
BC
. Do đú: 
= =
( ;( )) 3
4
d H AMN CH
AB CB
ị = =
3 3
( ;( ))
4 4
a
d H AMN AB . Suy 
ra: ( )( )= =
3
. ' '
1 9
; ' .
3 32H A MN A MN
a
V d H A MN S . 
0,25 
Gọi E là trung điểm B’C’, khi đú dễ thấy MP // CE nờn MP // (BCC’B’), suy ra: 
= =( ; ) ( ;( ' ')) ( ;( ' '))d MP HN d MP BCC B d M BCC B 
Vỡ M là trung điểm AC nờn = =1 1( ;( ' ') ( ;( ' '))
2 2
d M BCC B d A BCC B AH 
0,25 
5 
 Vậy = = =1 1 . 3( ; ) .
2 2 4
AB AC a
d MP HN AH
BC
. 0,25 
Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú: 
( ) ( ) ( )+ + + ³ + + + ³ + + +2 2 22 2 2 1 1 11 1 1
2 2 4
a b c a b c a b c và ( ) ( ) ( ) + + ++ + + Ê ổ ửỗ ữ
ố ứ
3
3
1 1 1
3
a b c
a b c . 0,25 
Suy ra Ê -
+ + + + + +
4 9
1 3
P
a b c a b c
 . Đặt 1, 1t a b c t= + + + > . Khi đú: Ê -
+
4 9
2
P
t t
 0,25 
Xột hàm số ( ) = -
+
2 18
2
f t
t t
 trờn ( )1;+Ơ . Ta cú: ( )
( )
= - +
+
22
2 18
'
2
f t
t t
 ; 
( ) ( )= Û = + Û =22' 0 9 4 2 4f t t t t . Ta cú bảng biến thiờn: 
0,25 
 t 1 4 +Ơ 
( )'f t + 0 - 
( )f t 1
2
- 
Dựa vào bảng biến thiờn ta cú 
1
2
P Ê - . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ 
khi: 4 1t a b c= Û = = = . 
6 
0,25 
Vậy giỏ trị lớn nhất của P là -0,5 đạt được khi 1a b c= = = 
N
HF
E
M
CD
BA
Giả sử = >, 0AB a a . Gọi H là hỡnh chiếu của M lờn AE, 
F là giao điểm của HM và AD. Gọi N là trung điểm AD. 
Ta cú DEHF là tứ giỏc nội tiếp nờn: ã ã+ = 0180DEH DFH , 
suy ra: ã ã=DEA MFN , do đú: D = DADE MNF suy ra: 
= = + =2 2
17
4
a
MF AE AD DE và = =
4
a
NF FD . 
D D ị = = ị =:
1
4
4
HF DE
DEA HFA HA HF
HA AD
. 
0,25 
Mặt khỏc + = =2 2 2 29
16
HF HA AF a suy ra: = 3
4 17
a
HF . Do đú: 
= - = - =
17 3 7
4 4 17 2 17
a a a
MH MF HF , suy ra: ( ) + -= = = ị =4.4 2 47 ; 14 4
2 17 17
a
d M AE a 
0,25 
Vỡ A thuộc AE nờn ( )-;4 4A m m , do đú: 
( ) ( )= + = Û - + - =2 22 2 2 25 4 4 2 20
4
AM AB BM a m m Û = 0m hoặc = 24
17
m . 
0,25 
7a 
Với = ị -ổ ửỗ ữ
ố ứ
24 24 28
;
17 17 17
m A , loại. Với ( )= ị0 0;4m A . Vậy ( )0;4A 0,25 
CÁCH 2. Giả sử = >, 0AB a a . Ta cú: = + = = =2 2 5 1 3, ,
2 4 4
a
AM AB BM DE a CE a 
= + =2 2
17
4
a
AE AD DE , = + =2 2 13
4
a
EM EC CM . 
0,25 
Áp dụng định lớ cụsin trong tam giỏc AME ta cú: ã + -= =
2 2 2 6
cos
2 . 85
AE AM EM
EAM
AE AM
Vỡ A AẺ nờn ( ;4 4 ) (4 ;4 2)A m m AM m m- ị - -
uuur
, AE cú một vectơ chỉ phương ( )1; 4u -
r
0,25 
Ta cú: ã ( ) ( )
( ) ( )
- - -
= Û =
- + -
uuur r
2 2
4 4 4 2 6
cos cos ;
8517 4 4 2
m m
EAM AM u
m m
2833 1176 0 0m m mÛ - = Û = hoặc = 24
17
m . 
0,25 
7a
. 
 c
ỏc
h 
2 
Với = ị -ổ ửỗ ữ
ố ứ
24 24 28
;
17 17 17
m A , loại. Với ( )= ị0 0;4m A . Vậy ( )0;4A 0,25 
 (P) cú một vectơ phỏp tuyến là 
r
(3;2;3)n . 0,25 
Gọi B d= ầ D , khi đú: ( )3 3 ;3 2 ; 2 2B t t t+ + - - ( )1 3 ;2 2 ; 5 2AB t t tị - + + - -
uuur
 . 0,25 
Vỡ / / ( )PD nờn ( ) ( ) ( ). 0 3 1 3 2 2 2 3 5 2 0 2n AB t t t t= Û - + + + + - - = Û =
r uuur
 0,25 8ê 
( )ị -
uur
5;6; 9AB là vectơ chỉ phương của D. D cú phương trỡnh là: - - -= =
-
4 1 3
5 6 9
x y z 0,25 
Điều kiện: 3z iạ - + . Giả sử ( ), , 3 và 1z x yi x y x y= + ẻ ạ - ạR từ giả thiết ta cú: 0,25 
 ( ) ( ) ( ) ( )
+ + - = + + - + + - = + + -
Û
+ = + =
ỡỡù ù
ớ ớ
ù ùợ ợ
2 2 2 2
2 2
( 1) ( 3) ( 3) ( 1) 1 3 3 1
3 9
x y i x y i x y x y
x yi x y
 0,25 
2 2
3 3
hoặc
9 2 2
x y
x y x y
x y
= -ỡ
Û Û = - = = - = -ớ
+ =ợ
 (thỏa món điều kiện) 0,25 
9ê 
Vậy 3 3
2 2
z i= - hoặc 3 3
2 2
z i= - + . 0,25 
Giả sử phương trỡnh chớnh tắc của elip cú dạng: ( )
2 2
2 2
1 0
x y
b a
a b
+ = < < . 
Vỡ đường trũn ngoại tiếp hỡnh chữ nhật cơ sở cú bỏn kớnh là 34R = nờn: + =2 2 34a b 
0,25 
Từ đú ta cú hệ:
2 2
2 2 2
2 2 2 2
34 34 25
5, 3, 44
25( ) 16 9
5
a b a b a
a b cc
a b a b
a
ỡ + = ỡ ỡ+ = =ù ù ùÛ Û ị = = =ớ ớ ớ
= - = =ù ùợ ợùợ
 . 
Phương trỡnh chớnh tắc của elip là: 
2 2
1
25 9
x y
+ = . 
0,25 
Giả sử ( ); ( )M MM x y Ẻ , khi đú: 1 2
4 4
5 , 5
5 5
MF a ex x MF a ex x= + = + = - = - . Ta cú: 
 ã = Û + = Û + + - =ổ ử ổ ửỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
2 2
0 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 4
90 5 5 64
5 5
F MF MF MF F F x x Û =216 175x 
0,25 
7b 
Û = = -
5 7 5 7
hoặc , loại.
4 4
x x Với 5 7
4
x = ta cú: 
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
5 7 9
;
4 4
M hoặc -
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
5 7 9
;
4 4
M . 0,25 
Vỡ 1 2 3, ,A d B d C dẻ ẻ ẻ nờn tọa độ của chỳng cú dạng: 
 ( );4 ; 1 2A a a a- - + , ( );2 3 ; 3B b b b- - , ( )1 5 ;1 2 ; 1C c c c- + + - + . 0,25 
Theo giả thiết AB BC= nờn B trung điểm AC do đú: 0,25 
= + = - + + - + = =
= + Û - = - + Û - + + = - Û =
- = - + + + + = == +
ỡ ỡ ỡ ỡ
ù ù ù ù
ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ùợ ợ ợợ
2 2 1 5 2 5 1 1
2 2(2 3 ) 5 2 6 2 1 0
6 2 2 2 6 2 02
B A C
B A C
B A C
x x x b a c a b c a
y y y b a c a b c b
b a c a b c cz z z
 0,25 8b 
 Suy ra ( ) ( ) ( )1;3;1 , 0;2;0 , 1;1; 1A B C - - ( )1;1;1BAị
uuur
 là vectơ chỉ phương của D. 
Phương trỡnh đường thẳng D là: 2
1 1 1
x y z-
= = . 
0,25 
Ta cú: ( )22 3 41, , 1, 1 2i i i i i i= - = - = + = . Do đú: 0,25 
( )2014 2 1007 1007 1007 4 251 3 10071 [(1 ) ] (2 ) 2 ( ) 2z i i i i i i= + = + = = = - nờn phần thực của z bằng 0. 0,25 
Mặt khỏc ta cú: 
2014 1007 1006
2014 2 2 2 1 2 1
2014 2014 2014
0 0 0
(1 ) k k k k k k
k k k
i C i C i C i+ +
= = =
+ = = +ồ ồ ồ 
0 2 4 2012 2014 1 3 5 2013
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014( ... ) ( ... )C C C C C C C C C i= - + - + - + - + - + . 
0,25 9b 
 Từ đú ta suy ra: 0 2 4 2012 20142014 2014 2014 2014 2014... 0C C C C C- + - + - = hay: 
0 4 8 2012 2 6 10 2014
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014... ...C C C C C C C C+ + + + = + + + + 
0,25 
Ta cú 20142014 2014 0 2014,
k kC C k k-= " Ê Ê ẻZ nờn 0,5 
0 2014 2 2012 4 2010
2014 2014 2014 2014 2014 2014, , ,...C C C C C C= = = do đú: 
 0,25 
C
ỏc
h 
2 
9b
0 4 8 2012 2 6 10 2014
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014... ...C C C C C C C C+ + + + = + + + + 0,25 
 TỔNG 10,0 
HẾT.