Đề thi thử đại học lần II môn Toán năm 2008 - 2009

Khối chuyên Toán - Tin trường ĐHKHTN-ĐHQGHN
Đề thi thử đại học lần 2 năm 2008-2009
Ngày thi: 15/3/2009
• Thời gian: 180 phút.
• Typeset by LATEX2ε.
• Copyright c©2009 by Nguyễn Mạnh Dũng.
• Email: nguyendunghus@gmail.com.
• Mathematical blog: 
1
1 Đề bài
Câu I (2 điểm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y =
−2x2 + 3x− 3
x− 1
2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều hai tiệm cận.
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác
9 sin3 x−
√
3 cosx+ sinx cosx(cosx−
√
3 sinx)− 6 sinx = 0
2) Tìm a để với mọi b hệ phương trình sau có nghiệm{
(a− 1)x5 + y5 = 1
ebx + (a+ 1)by4 = a2
Câu III (2 điểm)
1) Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng hữu hạn được giới
hạn bởi các đường y2 = x và 3y − x = 2.
2) Tính tổng sau theo n
S = C02n − 3C22n + 9C42n − 27C62n + · · ·+ (−3)nC2n2n
Câu IV (3 điểm)
1) Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng (d1), (d2) có
phương trình tham số
d1 :

x = 1− t
y = t
z = −t
; d2 :

x = 2t′
y = 1− t′
z = t′
a) Viết phương trình các mặt phẳng (P ), (Q) song song với nhau và lần lượt đi qua (d1), (d2).
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1), (d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
đó.
2) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp tam giác đó. Chứng minh rằng
IA.IB.IC = 4Rr2
Câu V (1 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c =
√
3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P =
√
a2 + ab+ b2 +
√
b2 + bc+ c2 +
√
c2 + ca+ a2
2
2 Lời giải tóm tắt
Câu I.
1) Điểm cực tiểu (0; 3), điểm cực đại (2;−5). Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y = −2x + 1.
(Bạn đọc tự vẽ đồ thị)
2) Xét điểm M(x0;−2x0 + 1− 2x0−1) là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Điểm M cách đều hai tiệm
cận khi và chỉ khi
|x− 0− 1|√
1
=
|2x0 − 2x0 + 1− 2x0−1 − 1|√
5
hay
(x0 − 1)2 =
√
4
5
⇔ x0 = 1± 4
√
4
5
Vậy các điểm cần tìm là các điểm thuộc (C) và có hoành độ x = 1± 4
√
4
5 .
Câu II.
1) Phương trình đã cho tương đương với
sin3x−
√
3 cosx+ sinx cosx(cosx−
√
3 sinx) = 2(3 sinx− 4 sin3 x)
⇔ sin
(
x− pi
3
)
= sin 3x
⇔
[
x− pi3 = 3x+ k2pi
x− pi3 = pi − 3x+ l2pi
⇔ x = pi
3
+ k
pi
2
k, l ∈ Z.
2) Hệ đã cho có nghiệm với mọi b nên khi cho b = 0 hệ có nghiệm. Khi b = 0 hệ trên tương đương
với {
(a− 1)x5 + y5 = 1
1 = a2
⇒ a = ±1
1. a = 1. Hệ trên trở thành {
y5 = 1
ebx + 2by4 = 1
Cho b =1 thì hệ trên không có nghiệm, vậy loại trường hợp a = 1.
2. a=-1. Hệ trên trở thành { −2x5 + y5 = 1
ebx = 1
Rõ ràng hệ này luôn có nghiệm x = 0, y = 1.
Vậy a = −1.
Câu III.
1) Xét phương trình tương giao y2 = 3y − 1⇔ y = 1, y = 2. Ta có
V = pi
∫ 2
1
(
(3y − 2)2 − y4) dy = 4
5
pi(d.v.t.t)
3
2) Xét khai triển
(1 + i
√
3)2n =
2n∑
k=0
Ck2n(i
√
3)k
= (C02n − 3C22n + · · ·+ (−3)n2n2n) + i(
√
3
1
2n − 3
√
3C32n + · · ·+ (−3)n−1
√
3C2n−12n )
Mặt khác, theo định lí De Moirve, ta có
(1 + i
√
3)2n = 22n(cos
2npi
3
+ i sin
2npi
3
)
Đồng nhất phần thực, ta thu được
S = 22n cos
2npi
3
Câu IV.
1) a) Các đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có vector chỉ phương
−→u1 = (−1; 1;−1),−→u2 = (2;−1; 1),
Vector −→n = [−→u1,−→u2] = (0; 1; 1) vuông góc với cả hai vector trên. Vậy các mặt phẳng (P ), (Q) có
cùng vector pháp −→n = (0; 1; 1) suy ra phương trình của chúng có dạng y + z + d = 0
• Điểm M(1; 0; 0) ∈ (d1) nên nó cũng thuộc (P ) suy ra d = 0.
Vậy mp (P ) có phương trình y + z = 0
• Tương tự như trên ta có N(0; 1; 0) ∈ (Q) nên phương trình của (Q) là y + z = 1
b) Vì −→u1 6= k−→n1 ∀k 6= 0 nên (d1), (d2) không song song với nhau. Vì −→n1.−→n2 6= 0 nên (d1), (d2) không
vuông góc với nhau. Ta cần chứng minh (d1) không cắt (d2).
Ta có (d1), (d2) cắt nhau khi và chỉ khi tồn tại t, t′ sao cho

1− t = 2t′
t = 1− t′
−t = t′
nhưng hệ này vô nghiệm.
Vậy (d1), (d2) chéo nhau.
Khoảng cách giữa (d1), (d2) chính là khoảng cách giữa (P ) và (Q) và bằng
dN/(P ) =
|1|√
2
=
1√
2
2) Ta có r = IA sin
A
2
= IB sin
B
2
= IC sin
C
2
⇒ r3 = IA.IB.IC. sin A
2
sin
B
2
sin
C
2
.
Do pr =
abc
4R
= S nên
r =
abc
4Rp
=
2R sinA sinB sinC
sinA+ sinB + sinC
=
16R sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
= 4R sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
4
⇒ sin A
2
sin
B
2
sin
C
2
=
r
4R
⇒ r3 = IA.IB.IC. r
4R
⇒ IA.IB.IC = 4Rr2.
Câu V. Với mọi x, y > 0 ta có
√
x2 + xy = y2 =
√
3
4
(x+ y)2 +
1
4
(x− y)2 ≥
√
3
2
(x+ y)
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = y.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta thu được
P ≥
√
3
2
[(a+ b) + (b+ c) + (c+ a)] = 3
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1√
3
.
5