Đề thi thử đại học môn Toán- Đề 4

ĐỀ SỐ 4
Thời gian làm bài: 180 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số = (1).
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi .
2. Tìm để hàm số (1) đồng biến trên khoảng .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (2 điểm)
1. Tính tích phân: I = 
2. Cho ba số thực dương , , thay đổi thỏa mãn điều kiện = 1. Chứng minh rằng:
 + + + + 
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , hai mặt phẳng () và () cùng vuông góc với mặt phẳng (). Biết ,2, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng () bằng . Tính thể tích khối chóp theo .
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu V.a (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ lần lượt là và . Tìm tọa độ các đỉnh , của tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng . 
Viết phương trình mp(P) song song với và , sao cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P).
3 . Giải phương trình: 
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu V.b (3 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (): . Viết phương
trình đường tròn (') tâm (5, 1) biết (') cắt () tại hai điểm, sao cho .
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: (d1): và ( d2) : .Chứng minh rằng (d1) và ( d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và ( d2).
3. Giải phương trình: 
----------------------------- Hết -----------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I ( 2 đ)
1. ( 1 đ)
2. ( 1 đ)
y' = 
y' = 0 = 0 
TH1: Nếu m- 1 0 m 1
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +). 
Vậy m 1 thoả mãn ycbt
TH 2: m - 1 > 0 m> 1
y' = 0 x = 0, x = 
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; 0 ) và (; +)
Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) thì m 2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) m 
Câu II: (2 đ)
1. (1 đ)
2cos2x - 1 + 5 = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0
 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = 0
Đặt t = sinx - cosx ( -)
 sinxcosx = 
Phương trình trở thành t2 + 4t - 5 = 0
 t = 1; t = -5 (loại)
Với t = 1 sinx - cosx = 1 sin= 1 sin= 
2. (1 đ)
 x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = 0 (x-y)2 + 3(x-y) - 4 + 0
* Với x- y = 1, ta có 
x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2
* Với x - y = -4 ta có (Hệ PT vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2)
Câu III: ( 2 đ)
1. (1 đ)
I = -2 
Ta có 
Tính J = 
Đặt t = 1 + lnx
J = = = (t - ln) = 1 - ln2
Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2
2. (1 đ)
Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết 0 < a b c
Khi đó 0 < 1 + a + b 1 + a + c 1 + b + c
và 0 < 2 + a 2 + b 2 + c
Ta có
+ + - =
= ++
++= 
Vậy + + + + 
Câu IV: (1 đ)
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD).
 VSABCD = SO.SABCD
Diện tích đáy 
.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó 
 tam giác ABD đều.
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ 
Đường cao của hình chóp .
Thể tích khối chóp S.ABCD: 
S
A
B
K
H
C
O
I
D
a
Câu Va: (3 đ)
1. (1đ)
Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC M(m; 1-m)
Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c). 
Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta có I(; )
Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nªn 
 m = 2 M(2; -1)
Ph­¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0
Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: 
Täa ®é cña C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)
2. (1đ)
Ta có : đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : 
 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: 
Gọi là vtpt của mp(P), vì (P) song song với và nên 
= [] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0
d(;(P)) = d(A ; (P)) = ; d( = d( B;(P)) = 
vì d(;(P)) = 2. d(
Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m = -mp(P) : 2x + 2y + z - = 0
3. (1đ)
Câu Vb: ( 3đ)
1. (1đ)
Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2), bk
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của
đoạn AB.
Ta có 
 IH
Trường hợp 1: MH = MI – IH = 
Khi đó bán kính của đường tròn (C’) là R’ = = 13
Phương trình đường tròn (C’) là: 
Trường hợp 2 : MH = MI + IH = 
Khi đó bán kính của đường tròn (C’) là R’ = = 43
Phương trình đường tròn (C’) là: 
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa mãn ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13
	và (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
2. (1đ)
(d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông 
(d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông 	 
	 khoâng ñoàng phaúng.
	Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau.
	Goïi MN laø đoạn vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2)
	,	
Tacoù: 
Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính 
Vaäy, phöông trình maët caàu (S): 
3. (1đ) 
Điều kiện: x > 1
Vậy PT có nghiệm x =