Đề thi thử Đại học môn Toán (Đề số 35 + 36)

ĐỀ SỐ 35. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút.
I: PHẦN CHUNG: ( 7điểm)
CâuI (2điểm): Cho hàm số y = f(x) =(x + 2)(x2 – mx + m2 -3) ( 1) 
 	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành.
Câu II (2 điểm):
 1: Giải phương trình: 4sin2x + 1 = 8sin2xcosx + 4cos22x 
 2: Giải bất phương trình: x2 + 4x + 1 > 3(x + 1) 
Câu III (1điểm): Tính tích phân 
Câu IV (1điểm): Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA = , tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Chứng minh rằng tam giác SAC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu V(1điểm): Giải hệ phương trình: 
PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A.Theo chương trình chuẩn 
Câu VI/a: (2điểm)
1 . Trong mpOxy cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng AB và BC lần lượt có phương trình: 7x + 6y – 24 = 0; x – 2y – 2 = 0. Viết phương trình đường cao kẽ từ B của tam giác ABC.
2. Trong kgOxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 
: 2x – y – 1 = 0; : 2x – z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z – 1 = 0 góc j mà 
Câu VII/a: (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI/b.(2điểm)
1. Trong mpOxy cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng AB và BC lần lượt có phương trình: 7x + 6y – 24 = 0; x – 2y – 2 = 0. Viết phương trình đường trung tuyến kẽ từ B của tam giác ABC
2. Trg kgOxyz viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, cắt các đường thẳng và tạo với (D) một góc 300
Câu VII/b: (1điểm) Giải phương trình: 
-------------------- Hết--------------------
HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ 35.
Câu I: 1. bạn đọc tự giải
2. Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành khi hệ sau có nghiệm: 
 (1) 
*) Với x = - 2 thay vào (2): m = - 1 
*) (3) có nghiệm khi và chỉ khi , (3) có hai ngiệm x = 
 Thay vào (2) ta được: 
Câu II : 1.4sin2x + 1 = 8sin2xcosx + 4cos22x Û 5 – 4cos2x = 8cosx – 8cos3x + 16cos4x – 16cos2x + 4
 Û 16cos4x – 8cos3x - 12cos2x + 8cosx - 1 = 0
 Û (2cosx – 1)(8cos3x – 6cosx + 1) = 0 Û (2cosx – 1)(2cos3x + 1) = 0
	2. x2 + 4x + 1 > 3(x + 1) Điều kiện x ≥ 0
 Đặt , t ≥ 0
	Bất phương trình trở thành t4 + 4t2 +1 > 3t3 + 3t Û t4 – 3t3 + 4t2 - 3t +1 > 0
 Û (t – 1)2(t2 – t + 1) > 0 Û"t ¹ 1
 Vậy nghiệm của bất phương trình x≥ 0 và x ¹ 1 
Câu III:. = = 1 + 
 = = 
Câu VI: ABCD là hình thoi , gọi O là tâm , P là trung điểm của SC
 Ta có BD ^ (SAC), SC ^ (PBD), 
 SC ^ OP
 OP là đường TB của tam giác SAC, vậy SC ^ SA
 DSAC vuông tại A SA = 
 Gọi H là chân đường cao, H Î AC, 
 Ta có: BD = 2 = 
Câu V: Điều kiện 
 (2) 
 Xét hàm số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t
 f’(t)= 3t2 + 1 > 0 "t Î R. Vậy hàm số tăng trên R
 (2) Û 2 – x = 2y – 1 Û 2y = 3 – x 
 Thay vào (1): x3 + x – 2 = 0 Û x = 1. Nghiệm của hệ (1;1)
Câu VI.a: 
	1. B = ABÇAC, B
 Theo yêu cầu bài toán ta có vô số tam giác thỏa mãn bài toán mà các 
 cạnh AC nằm trên các đường thẳng // với nhau.
 Chọn M(4;1) Î BC, M là trung điểm của BC C
 Tam giác ABC cân tại A, Vậy AM ^ BC AM: 2x + y – 9 = 0
 A = AM ÇAB A(6;-3)
 Đường cao BH đi qua B có VTPT pt
	2. Gọi d là giao tuyến của và d: 
 Lấy A(0;-1;0), B(1;1;2) Î d
	(P) qua A, (P) có dạng phương trình: Ax + By + Cz + B = 0
 (P) qua B nên: A + B + 2C + B = 0 A = - (2B + 2C)
Vậy (P): - (2B + 2C)x + By + Cz + B = 0 
 Û 13B2 - 8BC – 5C2 = 0, Chọn C = 1 B = 1; B = - 5/13
 +. Với B = C = 1; (P): - 4x + y + z + 1 = 0
 +. Với B = 5/13 và C = 1; (P’): - 16x - 5y + 13z - 5 = 0
Câu VII.a: Gọi z = x + yi (x;y Î R)
	Ta có: Û z
Câu VI.b: 1.Cách giải như câu VI.a , đường trung tuyến xuất phát từ B và qua trung điểm N của AC
 2. Ta có (D) nằm trong (P) Gọi A = (D’)Ç(P) , giải hệ ta được A(5;-1;5)
Lấy B(1+t;t;2+2t) Î (D); là VTCP của d 
Ta có cos300 = 
*) Với t = - 1 thì = ( -5;0;-5) d: 
*) Với t = 4 thì = (0; 5;5) d: 
Câu VII.b: 
 Û 
---------------------------Hết-------------------------
ĐỀ SỐ 36. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 
	1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai 	tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Câu II (2 điểm) 
	1. Giải phương trình lượng giác: 
	2. Giải bất phương trình: 
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 
Câu IV (1 điểm) Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
Câu V (1 điểm) Cho phương trình 
Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất.
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm) 
	1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng định bởi: 	. Tìm điểm M trên sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp 	tuyến lập với nhau một góc 600.
	2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3), D(1;-1;0). Tìm 	tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu VII.a (1 điểm) Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm) 
	1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng 	 và có hoành độ , trung điểm của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa 	độ các đỉnh của hình chữ nhật.
	2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là
.
	Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị 	trí của M, N tương ứng.
Câu VII.b (1 điểm) Cho là những số dương thỏa mãn: . Chứng minh bất đẳng thức
----------------------Hết----------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 36.
Đáp án.
Câu 
Ý
Nội dung
Điểm
I
2,00
1
1,00
+ MXĐ: 
0,25
+ Sự biến thiên 
Giới hạn: 
0,25
Bảng biến thiên
0,25
Đồ thị
0,25
2
1,00
Ta có . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là 
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
; 
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
Vì A và B phân biệt nên , do đó (1) tương đương với phương trình:
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau
 , 
Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là và .
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là 
II
2,00
1
1,00
Điều kiện: 
0,25
Từ (1) ta có: 
0,25
0,25
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 
0,25
2
1,00
Điều kiện: 
0,25
Phương trình đã cho tương đương:
0,25
0,25
Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là 
0,25
III
1,00
1
1,00
0,50
0,50
IV
1,00
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó và . 
Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.
Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó:
 vuông cân tại O nên: 
0,25
Ta có: 
0,25
0,25
và 
0,25
V
1,00
Phương trình (1)
Điều kiện : 
Nếu thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện . Thay vào (1) ta được:
0,25
* Với m = 0; (1) trở thành:
Phương trình có nghiệm duy nhất.
0,25
* Với m = -1; (1) trở thành
	+ Với 
	+ Với 
Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất.
0,25
* Với m = 1 thì (1) trở thành: 
Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1.
0,25
VIa
2,00
1
1,00
Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính .
Gọi A, B là hai tiếp điểm của (C) với hai tiếp của (C) kẻ từ M. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra .
Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: .
0,25
Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: 
0,25
Khử x giữa (1) và (2) ta được:
0,25
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: hoặc 
0,25
2
1,00
 Ta tính được . 
0,25
Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này.
0,25
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là , bán kính là .
0,50
VIIa
1,00
Số cách chọn 9 viên bi tùy ý là : .
0,25
Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là:
+ Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng chỉ là 8.
+ Không có bi xanh: có cách.
+ Không có bi vàng: có cách.
0,25
Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì có cách chọn 9 viên bi đỏ được tính hai lần.
Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là: cách.
0,50
VIb
2,00
1
1,00
I có hoành độ và 
Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của (d) và Ox, suy ra M(3;0)
, suy ra phương trình AD: .
Lại có MA = MD = .
Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:
 hoặc .Vậy A(2;1), D(4;-1), 
0,50
 là trung điểm của AC, suy ra:
Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4).
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1).
0,50
2
1,00
Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3.
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):
.
Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2.
0,25
Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0. Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S).
Gọi là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của và (P). 
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là và qua I nên có phương trình là .
0,25
Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình:
Suy ra .
0,25
Ta có Suy ra M0(0;-3;4)
0,25
VIIb
1,00
Áp dụng bất đẳng thức 
Ta có: 
0,50
Ta lại có:
Tương tự: 
Từ đó suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
0,50
---------------Hết--------------