Đề thi thử đại học năm 2012 môn Toán – Khối A, B, D

TRƯỜNG THPT CHUYấN THOẠI NGỌC HẦU  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 
AN GIANG  Mụn TOÁN – Khối A,B,D 
Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể  phỏt đề 
A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH 
Cõu I (2 điểm) Cho hàm số ( ) 4 2 4 1 2 1 y x m x m = - - + -  cú đồ thị ( ) m C 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( ) C  của hàm số khi  3 
2 
m =  . 
b) Xỏc định tham số m để ( ) Cm  cú 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giỏc đều. 
Cõu II (2 điểm) 
a) Giải phương trỡnh ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 tan x sin x tan x . - + = + 
b) Giải hệ phương trỡnh trờn tập số thực: 
2 
2 2 
1 4 
1 2 
( x ) y( y x ) y 
( x ).y( y x ) y 
ỡ + + + = ù 
ớ 
+ + - = ù ợ 
Cõu III (1 điểm) Giải phương trỡnh:  2 1 1 4 3 x x x + + = + 
Cõu IV (1 điểm) Cho hỡnh lập phương  1 1 1 1 ABCD.A B C D  cú độ dài cạnh bằng a. Trờn cỏc cạnh 
AB và CD lấy lần lượt cỏc điểm M, N sao cho  . BM CN x = =  Xỏc định vớ trớ điểm M sao cho 
khoảng cỏch giữa hai dường thẳng  1 AC  và  MN  bằng  3 
a 
. 
Cõu V (1 điểm) Cho a,b,c>0 thỏa điều kiện abc=1. Chứng minh rằng: 
1 
1 1 1 
a b c 
b c c a a b 
+ + ³ 
+ + + + + + 
B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH 
Dành cho thớ sinh thi theo chương trỡnh nõng cao 
Cõu VI.a (2 điểm) 
Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng: 
1 2 3 : 2 3 0; : 3 4 5 0; : 4 3 2 0 d x y d x y d x y + - = + + = + + = 
a)  Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc  1 d  và tiếp xỳc với  2 d  và  3 d 
b)  Tỡm tọa độ điểm M thuộc  1 d  và điểm N thuộc  2 d  sao cho  4 0 OM ON + = 
uuuur uuur r 
Cõu VII.a (1 điểm) Giải phương trỡnh sau: 
1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x + + = - 
Dành cho thớ sinh thi theo chương trỡnh chuẩn 
Cõu VI.b (2 điểm) 
a) Viết phương trỡnh đường trũn ( ) C  cú tõm I  thuộc ( ) : 3 2 2 0 x y D + - =  và tiếp xỳc với 
hai đường thẳng ( ) 1  : 5 0 d x y + + =  và ( ) 2  : 7 2 0 d x y - + = 
b) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) cú tiờu điểm thứ nhất là  ( 3;0) -  và đi qua điểm 
4 33 
(1; ) 
5 
M  .Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) 
Cõu VII.b (1 điểm)  Giải phương trỡnh sau: 
1 2 3  7 
2 x x x 
C C C x + + = 
ư HẾT ư 
Cản ơn nguyenhongtam18@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MễN TOÁN  NĂM 2011 
Cõu I  2 điểm 
a)  Với m = 2 hàm số trở thành  4 2 2 2 y x x . = - + 
ã  Tập xỏc định: Hàm số  cú tập xỏc định  D R. = 
ã  Sự biến thiờn:  3 4 4 y' x x. = -  Ta cú 
0 
0 
1 
x 
y' 
x 
= ộ 
= Û ờ = ± ở 
0,25 
ã ( ) ( ) 0 2 2 2 CD CT y y ; y y . = = = = -  0,25 
ã  Bảng biến thiờn: 
x -Ơ  ư1  0  1 +Ơ 
y' -  0 +  0 -  0 + 
y 
+Ơ  2 +Ơ 
1  1 
0,25 
ã  vẽ đồ thị 
8 
6 
4 
2
ư2
ư4
ư6
ư8 
ư15  ư10  ư5  5  10  15 
ã  Nhận xột: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy 
0,25 
b)  Xỏc định  m để (Cm) cú 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giỏc đều. 
ã  Ta cú ( ) ( ) ( ) 3 2 4 8 1 4 2 1 y x m x x x m . Â = - - = - - 
ã 
( ) 2 
0 
0 
2 1 
x 
y 
x m 
= ộ 
 = Û ờ = - ở 
nờn hàm số cú 3 cực trị khi m > 1 
0,25 
0,25 
ã  Với đk m > 1 hàm số cú 3 điểm cực trị là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 2 1 4 10 5 2 1 4 10 5 A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m . - - - + - - - - + -  Ta  cú: 
( ) ( ) 
( ) 
4 2 2 
2 
2 1 16 1 
8 1 
AB AC m m 
BC m 
= = - + - 
= -  0,25 
ã  Điều kiện tam giỏc ABC đều là  2 2 2 AB BC CA AB BC CA = = ị = =
( ) ( ) ( ) 
( ) 
4 
3 
3 
2 1 16 1 8 1 
1 1 0 
3 8 1 3  1 
2 
m m m 
m m 
m  m 
ị - + - = - 
= ộ - = ộ ờ ị ị ờ ờ - = = + ờ ở ờ ở 
ã  So sỏnh với điều kiện cú 3 cực trị ta suy ra 
3 3 
1 
2 
m = +  :  0,25 
Cõu II  2 điểm 
a)  Giải phương trỡnh ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 tan x sin x tan x . - + = + 
ã  Điều kiện: 
π 
π 
2 
x k ,k ạ + ẻZ 
ã  Biến đổi phương trỡnh về dạng ( ) ( ) 
1 
1 os2 0 
os2 1 
tan x 
sin x cos x c x 
c x 
= - ộ 
+ - = Û ờ = ở 
. 
0, 25 
0,5 
ã  Do đú nghiệm của phương trỡnh là: 
4 
x k ,x k ;k p p p = - + = ẻZ 
0,25 
b)  Giải hệ phương trỡnh trờn tập số thực: 
2 
2 2 
1 4 
1 2 
( x ) y( y x ) y 
( x )y( y x ) y 
ỡ + + + = ù 
ớ 
+ + - = ù ợ 
ã  Viết lại hệ dưới dạng: 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
2 
2 2 
1 2 2 
1 2 
x y y x y 
x y y x y 
ỡ + + + - = ù 
ớ 
+ + - = ù ợ 
0,25 
ã  Đặt  2  1 u x = +  và  2 v y( y x ) = + -  ; hệ trở thành: 
2 
2 u v y 
uv y 
+ = ỡ 
ớ 
= ợ 
nờn u,v là nghiệm của 
phương trỡnh  2 2 2 0 X yX y X y - + = Û = 
Nờn 
2 2 1 1 
( 2) 3 
x y x y 
y y x y y x 
ỡ ỡ + = + = 
Û ớ ớ 
+ - = = - ợ ợ 
0,25 
0,25 
( ; ) (1;2);( 2;5) x y Û = -  .Vậy hệ cú 2 nghiệm như trờn.  0,25 
Cõu III  Giải phương trỡnh:  2 1 1 4 3 x x x + + = +  1đ 
Điều kiện:  0 x ³ 
Pt  2 4 1 3 1 0 x x x Û - + - + =
2 1 
(2 1)(2 1) 0 
3 1 
x 
x x 
x x 
- 
Û + - + = 
+ + 
0,25 
0,25 
1 
(2 1) 2 1 0 
3 1 
x x 
x x 
ổ ử Û - + + = ỗ ữ + + ố ứ 
0,25 
1 
2 1 0 
2 
x x Û - = Û =  0,25 
Cõu IV  1 điểm
N 
M 
D1  C1 
B1 A1 
D  C 
B A 
ã  Ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 MN / / BC MN / / A BC d MN ,AC d MN , A BC ị ị =  0,25 
ã  Gọi  1 1 H A B AB = ầ  và  1 MK / / HA,K A B ẻ 
2
2 
x 
MK ị =  . 
0,25 
ã  Vỡ  1 1 1 A B AB MK A B ^ ị ^  và ( ) 1 1 CB ABB A CB MK ^ ị ^  . 
ã  Từ đú suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 MK A BC MK d MN , A BC d MN ,AC ^ ị = = 
ã  Nờn 
2 2 
3 2 3 3 
a x a a 
MK x = ị = ị =  . Vậy M thỏa món 
2
3 
a 
BM = 
0,25 
0,25 
Cõu V 
Cho a,b,c>0 thỏa điều kiện abc=1. Chứng minh rằng: 
1 
1 1 1 
a b c 
b c c a a b 
+ + ³ 
+ + + + + + 
1đ 
ã  Ta cú 
2 
3  ( ) 3 3 (1) 
3 
a b c 
a b c abc a b c 
+ + 
+ + ³ = ị + + Ê  0,25 
ã Ta cú 
2 
2 
( ) 3( ) 
2( ) 
2( ) (2) 
3 
a b c ab bc ca 
a b c 
ab bc ca 
+ + ³ + +
+ + 
ị + + Ê  0,25 
ã  Khi đú: 
2 2 2 
1 1 1 
a b c a b c 
b c c a a b a ab ac b bc ba c ca cb 
+ + = + + 
+ + + + + + + + + + + + 
2 2 
2 2  1 2 2 
3 3 
( a b c ) ( a b c ) 
( a b c ) ( a b c ) ( a b c ) ( ab bc ca ) 
+ + + + 
³ ³ = 
+ + + + + + + + + + 
(do (1),(2)) 
ã  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 
0,5 
Cõu VI.a  Chương trỡnh nõng cao  2đ 
a) 
ã  Gọi  1 I d ẻ  là tõm đường trũn, thỡ  ( ;3 2 ) I t t - 
ã  Khi đú: 
3 4(3 2 ) 5 4 3(3 2 ) 2 
5 5 
t t t t + - + + - + 
= 
0,25 
0,25 
5 17 2 11 2 
5 17 2 11 4 
t t t 
t t t 
- + = - + = ộ ộ 
Û Û ờ ờ - + = - = ở ở 
0,25
ã  Vậy cú hai đường trũn thỏa món: 
2 2  49 ( 2) ( 1) 
25 
x y - + + =  và  2 2 
9 
( 4) ( 5) 
25 
x y - + + =  0,25 
b)  Tỡm tọa độ điểm M thuộc  1 d  và điểm N thuộc  2 d 
ã  Do  1 2 & M d N d ẻ ẻ  nờn 
2 
1 1 2 
3 5 
( ;3 2 ); ( ; ) 
4 
x 
M x x N x 
+ 
- -  0,25 
1 
1 2 
1 2 
2 
8 
4 0  5 4 
3 2 (3 5) 0 2 
5 
x x x 
OM ON O 
x x 
x 
ỡ = - ù + = ỡ ù + = Û Û ớ ớ - - + = ợ ù = 
ù ợ 
uuuur uuur ur 
Vậy 
8 31 2 31 
; à ; 
5 5 5 20 
M v N ổ ử ổ ử - - ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
0,5 
0,25 
Cõu 
VII.a 
Chương trỡnh nõng cao  1đ 
ã  Ta cú  1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x + + = -  Điều kiện  3, x x N ³ ẻ  0,25 
ã  pt  2 3 ( 1) ( 1)( 2) 9 14 x x x x x x x x Û + - + - - = - 
2  9 14 0 2 7 x x x x Û - + = Û = Ú =  0,5 
ã  So với đkiện pt cú  nghiệm  7 x =  0,25 
CõuVI.b  Chương trỡnh cơ bản  2đ 
a) 
ã  Đưa ( ) D  về dạng tham số ( ) 
2 2 
: ; 
3 2 
x t 
t 
y t 
= + ỡ 
D ẻ ớ = - - ợ 
R . 
ã  Gọi ( ) ( ) 2 2; 3 2 I t t + - - ẻ D  và R lần lượt là tõm và bỏn kớnh của đường trũn. 
0,25 
ã  Từ đk tiếp xỳc suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 
5 17 18 
; ; 
2 5 2 
t t 
d I d d I d R R 
- + + 
= = ị = = 
103 7 
5 25 17 18  22 2 22 
5 25 17 18 43 103 
12  22 2 
R t t t 
t t 
t R 
ộ ộ = = ờ ờ - + = + ộ ờ ị ị ị ờ ờ - = + ờ ở ờ = - = ờ ờ ở ở 
0,5 
ã  Từ đú dẫn đến 2 đỏp số của bài toỏn là: 
2 2 2 
58 65 103 
22 22  22 2 
x y ổ ử ổ ử ổ ử - + + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ 
và 
2 2 2 
62 105 103 
12 12  22 2 
x y ổ ử ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ 
0,25 
b) 
ã  (E) cú tiờu điểm  ( 3;0) F -  nờn  3 c = - 
ã  Phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) cú dạng 
2 2 
2 2  1 
x y 
a b 
+ = 
0,25 
ã  Ta cú:  2 2 
2 2 
4 33 1 528 
(1; ) ( ) 1 (1) à 3 
5 25 
M E v a b 
a b 
ẻ ị + = = + 
Thay vào (1) ta được: 
4 2 2 
2 2 
1 528 
1 25 478 1584 0 22 
3 25 
b b b 
b b 
+ = Û - - = Û = 
+  0,5
2  25 a ị = 
ã  Vậy Phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) là 
2 2 
1 
25 22 
x y 
+ =  0,25 
CõuVII.b  Chương trỡnh cơ bản  1đ 
ã  Ta cú:  1 2 3 
7 
2 x x x 
C C C x + + =  Điều kiện  3, x x N ³ ẻ 
Pt 
2 
( 1) ( 1)( 2) 7 
2 6 2 
6 3( 1) ( 1)( 2) 21 
16 4 4 
x x x x x x 
x 
x x x 
x x x 
- - - 
Û + + = 
Û + - + - - = 
Û = Û = Ú = - 
0,25 
0,5 
ã  So với điều kiện ta được  4 x =  0,25