Đề thi thử đại học số 78 môn toán

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 78
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = - x + 2 là một trục đối xứng của đồ thị hàm số (1).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho số thực a. Chứng minh rằng:
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
 A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm M(0; 2), N(5; - 3), P(- 2; - 2), 
Q(2; - 4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD. Tính diện tích hình vuông đó.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2; -1; 3), D(1; -1; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với AB và CD sao cho khoảng cách từ đường thẳng AB và khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu 9.a (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n ta có:
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình và đường thẳng (d) có phương trình x - y + 7 = 0. Tìm trên (d) điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của (C) là MA, MB(A, B là hai tiếp điểm) sao cho độ dài AB nhỏ nhất. 
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; - 2; - 2) và mặt phẳng (P) có phương trình x - y - z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P) và cắt Oy, Oz lần lượt tại M, N sao cho OM = ON 0.
Câu 9.b (1,0 điểm). 
Chứng minh rằng, với mọi cặp số nguyên k, n () ta có.
Tìm số nguyên n > 4 biết rằng 
 ---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..............................................; Số báo danh:...................
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 78
Câu 1; 1, ( 1.0đ ) TXĐ: 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
Giới hạn: 
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng khi 
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang khi 
Bảng biên thiên: 
t
- 1 + 
y
 +
y'
1 + 
 - 1 
Đồ thị:
 Câu 1; 2, ( 1.0đ ) 
Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số đã cho là (C) Phép tịnh tiến hệ trục Oxy IXY theo = (1; 1): Hàm số đã cho trở thành .Đường thẳng y = - x + 2 trở thành 1+Y = - (1 + X) + 2
Y = - X. Trong hệ trục IXY mỗi M(X; Y) (C) , với và hiển nhiên .
Khi đó (C)
Mặt khác M(X; Y) và M'(- Y; - X) đối xứng với nhau qua đường thẳng Y = - X. Suy ra đpcm
Câu 2; ( 1.0đ ) ĐK: 
 thỏa điều kiện. KL: Nghiệm của phương trình đã cho là 
Câu 3; ( 1.0đ )
 Phương trình (1) ĐK: 
Nếu thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là . Thay vào (1) ta được: 
* Với m = 0, (1) trở thành: . Phương trình (1) có nghiệm duy nhất..
* Với m = - 1, (1) trở thành:
 	Phương trình (1) có nghiệm duy nhất. 
* Với m = 1 thì (1) trở thành: 
Ta thấy thỏa phương trình. Phương trình (1) có hơn một nghiệm. KL: m = 0, m = - 1.
Câu 4; ( 1.0đ ) Ta có và 
 Đặt 
 Suy ra .
Câu 5; 1, ( 1.0đ )
Gọi H là giao điểm của BM và AN.
Do M, N là các trung điểm nên 
 , nhọn
Suy ra là góc giữa hai mặt phẳng: 
(ABCD) và (SBM) nên 
Trong tam giác vuông ABM: 
dt(ABNM) = dt(ABCD) - dt(BCN) - dt(MND)
 = 5 
Suy ra thể tích hình chóp S.ABNM là: 
 Gọi F là trung điểm BC. Ta có DF//BM nên DF //mp(SBM).
Gọi E là giao điểm của DF và AN. Suy ra d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM))
Gọi K là hình chiếu của E trên đường thẳng SH thì 
Từ đó d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM)) = EK. M trung điểm AD nên H là trung điểm AE HE = HA = a
Để ý rằng . Vậy 
Ghi Chú: d(D, mp(SBM)) = d(A, mp(SBM)) . Có thể giải bằng PP tọa độ
 Câu 6; ( 1.0đ ) 
 (1)
Trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 1), B, C, Gọi M(a; a).
 Khi đó, (1) MA + MB + MC 3 (2) 
Tam giác ABC đều tâm O và OA = OB = OC = 1
Suy ra (2) tương đương MA + MB + MC OA + OB + OC (3) Ta chứng minh (3).
Thực hiệm phép quay tâm A góc 600. . Suy ra MA = MM', MC = M'C'. 
Khi đó:MA + MB + MC = MB + MM' + M'C' BC' = OA + OB + OC
Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi M O a = 0.
Ghi chú: Có thể giải bằng PP véc tơ
 Không dùng các bất đẳng thức không có trong SGK để chứng minh.
 Câu 7a; ( 1.0đ ) Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y - 2) = 0
Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x - 5) - a(y + 3) = 0
d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) 
i) a = 7, b = - 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = dt(ABCD) = 2 
ii) a = 1, b = - 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = dt(ABCD) = 10 
Câu 8a; ( 1.0đ ) Mặt phẳng (P) song song với AB và CD có một cặp véc tơ chỉ phương:
nên có một véc tơ pháp tuyến là Suy ra phương trình mp(P): y + D = 0
AB và CD song song (P) nên d(AB,(P)) = d(A,(P)) và d(CD,(P)) = d(C,(P))
d(AB,(P)) = d(AB,(P)) d(A,(P)) = d(C,(P)) .
Suy ra phương trình (P): y = 0
 Câu 9a; ( 1.0đ ) (*)
VP(*) là hệ số của trong khai triển 
VT(*) là hệ số của trong khai triển 
Mặt khác = 
Hệ số của trong khai triển bằng hệ số của trong khai triển 
Suy ra đpcm.
Câu 7b; ( 1.0đ ) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2. Gọi H là giao điểm của IM và AB thì và HA = HB.
d(I, d) = 3 > R. Suy ra qua mọi M thuộc (d) đều kẻ được tiếp tuyến của (C). 
Tam giác AMI vông ở M có::
 Từ đó suy ra, AB nhỏ nhất khi chỉ khi IM nhỏ nhất , khi chỉ khi M là hình chiếu của I trên (d)
, 
d có véc tơ chỉ phương . 
Câu 8b; ( 1.0đ ) Gọi M(0; a; 0), N(0; 0; b), trong đó 
Ta có Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của (Q):
 . Véc tơ pháp tuyến của (P): 
 (1) OM = ON 
i) a = b : (loại) hoặc a = 2
 a = 2 thì b = 2, ta có Phương trình (Q): 2x + y - 2 + z = 0 2x + y + z - 2 = 0
ii) a = - b: (loại) Vậy, phương trình (Q): 2x + y + z - 2 = 0
Câu 9b; ( 1.0đ ) Ta có (đpcm)