Đề thi thử kỳ thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường PTCS Khánh Thành (Có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT YÊN THÀNH 
TRƯỜNG PTCS KHÁNH THÀNH
ĐỀ THI THỬ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2022-2023
Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (4 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương
 	 b. Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Câu 2: ( 4 điểm): Giải phương trình: 
a. 
b. -=3
Câu 3: (4 điểm) 
a.Cho biết: với –2 < x < 2 và x 0. 
Tính giá trị của biểu thức 
b. Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1.
 Chứng minh rằng 	
Câu 4 : (6,0 điểm)
Cho tam giác BEF vuông tại B, hai phân giác trong BK và ED cắt nhau tại O (K FE;DBF). Vẽ KM và OJ vuông góc với BE; KN và OS vuông góc với BF (M, JBE; N, SBF)
a. Chứng minh tứ giác BMKN là hình vuông
b. Cho EO =10cm; DO =5cm. Tính BE?
c. Cho . Tính các góc nhọn của tam giác EBF?
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: BM = CN.
---------------HẾT---------------
 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
Câu
Ý
Đáp án
Điểm
1
4đ
a
2đ

 là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
b
2đ
 
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0,5
0.25
0,5
0,5
0,25

2
4đ
a
2đ
Đk: 
 (x2 – 8x + 16) + (x + 5 - 6 + 9) = 0
 ( x – 4)2 + (- 3)2 = 0
 . 
Vậy x = 4
0,25
0,5
0,5
0.5
0,25
b
2đ
ĐK : -3x6 	
Đặt =t >0	
Suy ra t2=3+x+6-x+2=	
Ta có pt: t-=3t2-2t-3=0 t=-1 (loại) hoặc t=3 
t=3 suy ra =3...x=-3 hoặc x=6	 	

0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
3
4đ
a
2đ
Áp dụng tính chất: Nếu ; 
từ giả thiết suy ra 
Từ giả thiết –2 < x < 2 
 suy ra 
 
0,5
0,5
0,5
0, 5
b
2đ
Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x).
Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x)
Do đó: 
= ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: ))
Đẳng thức xảy ra .

0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
6đ


 vễ hình đúng

0,25
a
1,75
+ Từ (gt) ta có tứ giác BMKN có 3 góc vuông là hình chữ nhật (1)
+ Từ (gt) ta có BK là đường phân giác (2)
+ Từ (1);(2) suy ra tứ giác BMKN là hình vuông
1,0
0,25
0,5
b
2đ
+ Vì BO là phân giác trong tam giác BED ta có : = k > 0 (1)
+ Áp dụng định lí Pyta go ta có :BE2 + BD2 = ED2 (2)
+ Thay (1) vào ( 2) ta tính được BD =15cm; BE = 30cm

0,5
0,5
1,0
c
2đ
+ Vì 
+ Mặt khác FO là phân giác góc F nên 
Suy ra = => BF = KF. => BF2 = 2KF2
+ Lí luận tương tự ta có BE = EK. BE2 = 2EK2
Vậy EF2 = BE2 + BF2 = 2 (KF2 + KE2)
 (EK+KF)2 = 2(KF2 + EK2) 
 EK2 +2EK.KF + KF2 = 2KF2 + 2EK2
 KF2 – 2EK.KF + KE2 = 0 (KF – KE)2 = 0 KF = KE.
 + Vậy BEF vuông cân tại B Suy ra E =F = 450 

0,5
0,5
0,5
0,5
 5
2đ

 Vẽ hình đúng
0,25

*Chứng minh: BM = CN
+ Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
+ Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
+ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường phân giác) AM = AN (1)
+ BP//MN nên BP AK.Tương tự ABP cân tại A AB = AP (2)
+ BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)
+ Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)
Trong BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP N là trung điểm
của CP hay NP = NC (5).
Từ (4),(5) BM = CN 
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

 Đáp án có 3 trang; học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa