Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán học

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
Phần bắt buộc với mọi thí sinh :
Câu 1. Cho hàm số y = x3 – mx2
Tìm m để đồ thị có điểm uốn tại điểm có hoành độ x = 1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị vừa vẽ tại điểm uốn. Chứng minh rằng : tiếp tuyến này là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị. 
Câu 2.
Tính tích phân :
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = ex và các đường thẳng y = 1 và x = 1.
Câu 3. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình :
 d : và d’ : .
 1) Chứng minh d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.
 2) Xác định vectơ đồng thời vuông góc với d và d’.
Câu 4. Cho mặt phẳng P : 6x + 6y – 7z +42 = 0
Viết phương trình mặt cầu tâm I(1 ;4 ; -7 ) tiếp xúc với mặt phẳng P.
Tính thể tích tứ diện có 4 đỉnh là gốc tọa độ O và giao điểm của P với các trục tọa độ.
Phần tự chọn ( chỉ giải câu 5A hoặc câu 5B)
Câu 5A. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
.
Câu 5B. Tính tổng các số gồm 5 chữ số khác nhau. Biết rằng các số này được viết bởi các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
Câu 1.
y’ = 3x2 – 2mx ; y’’ = 6x – 2m. Do đó đồ thị có hoành độ điểm uốn là x = . Vậy điểm uốn có hoành độ x = 1 khi và chỉ khi = 1 hay m = 3.
Với m = 3 thì hàm số trở thành y = x3 – 3x2. Các bạn dễ dành khảo sát và vẽ đồ thị.
Hàm số y = x3 – 3x2 có y’ = 3x2 – 6x nên phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là :
y – f(1) = f’(1) (x – 1 ) hay y – (- 2 ) = - 3 (x – 1 ) hay y = - 3x + 1.
Tiếp tuyến tại x = x0 bất kì có hệ số góc là :
f’(x0) = .Do đó hệ số góc nhỏ nhất bằng – 3 khi x0 = 1.
Câu 2. 
 1) 
 2) Giao của đồ thị y = ex với đường y = 1 tại (0 ; 1) và với đường x = 1 tại (1 ; e). Vậy diện tích hình phẳng là :
S = (đ.v.d.t).
Câu 3.
Viết phương trình d và d’ dưới dạng tham số :
Giải hệ : ta thấy vô nghiệm nên d và d’ chéo nhau.
d có vectơ chỉ phương là và d’ có vectơ chỉ phương là . Gọi vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d’ là thì . Do đó :. Cho b = 1, giải hệ có a = và c = . Vậy có thể chọn .
Câu 4.
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng hay bán kính mặt cầu là
.
Do đó phương trình mặt cầu là 
.
Giao điểm của P với các trục tọa độ lần lượt là (- 7 ; 0 ; 0), (0 ; - 7 ; 0), (0 ; 0 ; 6). Do đó thể tích tứ diện là 
V = 7x7x6 :6 = 49 (đ.v.t.t)
Câu 5A. Điều kiện n là số tự nhiên không nhỏ hơn 3
Kết hợp điều kiện ta có n = 5.
Câu 5B. Số các số chính là hoán vị của 5 phân tử nên có 5 ! = 120 số.
Do vai trò của 5 chữ số là như nhau nên khi cộng từng hàng của các số ta thấy mỗi chữ số xuất hiện đúng 120 : 5 = 24 lần. Do đó tổng các chữ số của mỗi hàng là : 24 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 360.Vậy tổng 120 số là
360 x ( 1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 360 x 11111 = 3999960.