Đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán năm 2015 (Kèm đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 − 3x.
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+
4
x
trên đoạn [1; 3].
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn (1− i) z − 1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z.
b) Giải phương trình log
2
(x2 + x+ 2) = 3.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1∫
0
(x− 3)ex dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;−2; 1), B(2; 1; 3) và
mặt phẳng (P ) :x− y + 2z − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng AB với mặt phẳng (P ).
Câu 6 (1,0 điểm).
a) Tính giá trị của biểu thức P = (1− 3 cos 2α)(2 + 3 cos 2α), biết sinα =
2
3
.
b) Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống
dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm
y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y
tế cơ sở được chọn.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45◦. Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC .
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu
vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(−5;−5), K(9;−3) và trung điểm của cạnh AC
thuộc đường thẳng x− y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình
x2 + 2x− 8
x2 − 2x+ 3
= (x+ 1)
(√
x+ 2− 2
)
trên tập số thực.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 3] và thỏa mãn điều kiện a + b+ c = 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
a2b2 + b2c2 + c2a2 + 12abc+ 72
ab+ bc+ ca
−
1
2
abc.
−−−−−−−−Hết−−−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .