Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 môn thi :toán thời gian làm bài : 90 phút

1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 90 phút1
Bài 1:
Cho dãy số x1, x2, . . . , xn, . . . , xác định như sau:
xn > 0, xn = ln(1 + xn−1)∀n ≥ 1
Chứng minh rằng dãy số ấy hội tụ đến một giới hạn l.Tính l.
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện
|f(x1)− f(x2)| ≤ |x1 − x2|3, ∀x1, x2 ∈ R,
thì f(x) là hàm hằng.
Bài 3:
f(x) là một hàm số xác định và liên tục tại mọi x 6= 0, lấy giá trị ≤ 0 ,
thỏa mãn điều kiện
f(x) ≤ k
∫ x
0
f(t)dt.∀x ≥ 0
trong đó k là một hằng số dương, Chứng minh rằng f(x) = 0, ∀x ≥ 0.
(Gợi ý : Có thể xét sự biến thiên của hàm số F (x) = e−kx
∫ x
0 f(t)dt trên
khoảng (0,+∞))
Bài 4:
Hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng
f [tx + (1− t)y] ≤ tf(x) + (1− x)f(y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ (0, 1).
Bài 5:
Cho số thực k1, k2, . . . , kn, khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng
a1e
k1x + a2e
k2x + . . . + ane
knx = 0 ∀x ∈ R
Khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an = 0.
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp