Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2002 Môn thi :Toán Thời gian làm bài : 120 phút

1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2002
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút1
Bài 1:
Cho bất phương trình :
x
1 + |x| ≥ mx
2 + x (1)
1/ Giải bất phương trình (1) khi m = 2.
2/ Tìm m ∈ R lớn nhất sao cho bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
x ∈ R.
Bài 2:
Cho dãy số {xn} xác định như sau :{
x1 = −13
xn+1 =
x2n
2 − 1 nếu n ≥ 1
Chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn khi n→∞ và tìm giới hạn đó.
Bài 3:
Cho các số thực a0, a1, . . . , a2002 thỏa mãn :{
a0 6= 0
a0 +
a1
2 +
a2
3 + . . . +
a2002
2003 = 0
Chứng minh rằng phương trình
a0 + a1x + a2x
2 + . . . + a2002x
2002 = 0
có nghiệm trên đoạn [0, 1].
Bài 4:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f”(x) ≥ 0 trên toàn bộ R và
a ∈ R cố định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + (a − x)f ′(x)
trên R.
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp