Đề thi tuyển học sinh giỏi môn thi: Toán Học

m
at
h.
vn
Bộ Giáo Dục & Đào Tạo
Đại Học Vinh
Năm học 2010-2011
Đề thi Tuyển Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
————-
Bài 1.
Cho các số thực không âma,b,c thỏa mãn a+b+ c = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của
P=
1
1+a2
+
1
1+b2
+
1
1+ c2
.
Bài 2.
Cho dãy số (un) xác định bởi u0 > 1; un+1 =
un+1+
√
2(u2n+1)
un−1 , n= 0, 1, 2, ...
Tìm lim un.
Bài 3.
Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính khác nhau và có hai tiếp tuyến chung trong
∆1, ∆2 cắt nhau tại I. Một tiếp tuyến chung ngoài ∆3 tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại M
và N. Đường tròn (O3) nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi ∆1, ∆2, ∆3 và tiếp xúc với
ba đường thẳng này theo thứ tự tại P, Q, R. Biết rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một
đường tròn (C).
1) Chứng minh rằng tâm của đường tròn (C) nằm trên đường tròn đi qua ba giao điểm của
∆1, ∆2 và ∆3.
2) Chứng minh ∆1⊥∆2.
Bài 4.
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x< y và xy− (y+1)x = x+2y+1.
Bài 5.
Tìm số nguyên dương n lớn nhất thỏa mãn tồn tại n tập hợp A1, A2, ..., An, mỗi tập gồm 5
phần tử sao cho hai tập bất kì có đúng một phần tử chung và hợp của tất cả các tập có n phần
tử.
——— Hết ———