Đề thi tuyển sinh 2007 Môn Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI 
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 2007 
MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1: Cho phương trình: m)x1(x)xx1( 3 =−−+− (1) (m là tham số) 
1. Giải phương trình (1) khi m = 1 
2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 
Câu 2: Với người sử dụnglà số nguyên dương, đặt: 
∫
π
−=
4
n21n2
n dx)x(sinxU và ∫
π
−−=
4
1n21n2
n dx)x2(cosxV 
Chứng minh rằng: 
1. 0VlimUlim n+nn+n == ∞→∞→ 
2. 1n
32
VU2
2
nn ≥∀π≤+ 
Câu 3: Ký hiệu R+ là tập các số thực dương. Giả sử f: R+ → R+ là một hàm số 
liên tục thoả mãn 5 5 1)1x())x(f(f ++= . Chứng minh rằng: 
1. Nếu )x(f)x(f 21 = thì 21 xx = 
2. Hàm số f(x) đơn điệu tăng và 1
)x(f
)1x(flim
x
=++∞→ 
Câu 4: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm C, D ở về 2 phía đối với (P) sao cho 
CD không vuông góc với (P). Hãy xác định vị trí 2 điểm A, B thuộc (P) sao 
cho AB = a (a > 0 cho trước) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
Câu 5: Cho k1, k2,  , kn là các số thực dương khác nhau từng đôi một. 
Chứng minh rằng: Rx0)xkcos(...)xkcos()xkcos( nn2n11 ∈∀=λ++λ+λ khi và chỉ 
khi 0... n21 =λ==λ=λ