Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 môn thi: Toán học; khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
-----------------------------
Môn thi: TOÁN; Khối: A
ĐỀ CHÍNH THÚC
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình 
Giải phương trình 
Câu III (1,0 điểm)
	Tính tích phân 
Câu IV (1,0 điểm)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức A = |z1|3 + |z2|3.
Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn và đường thẳng , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai đường thẳng . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng và khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình .
---------------Hết---------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2009
Câu I.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
+ Tập xác định: x 
+ y’ = 
+ Tiệm cận
Vì nên tiệm cận ngang là y = 
Vì nên tiệm cận đứng là x = - 
Bảng biến thiên:
Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại và cắt Ox tại (-2; 0)
2. Ta có nên phương trình tiếp tuyến tại (với ) là:
y - f() = f’()(x -)
Do đó tiếp tuyến cắt Ox tại A(;0)
và cắt Oy tại B(0; )
Tam giác OAB cân tại O(với OA > 0) 
Với ta có tiếp tuyến y = -x - 2
Câu II.
1. ĐKXĐ: 
Phương trình cosx - 2sinxcosx = (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x)
cosx – sin2x = + sinx - 2sin2x
sinx + cosx = sin2x + (1 – 2sin2x)
	 = sin2x + cos2x
-	
Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm của pt là:
x = 
2. Đkxđ: (*)
Đặt 
Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2}
Câu III.
I = 
Ta có: I2 = = 
Mặt khác xét I1 = 
= 
Vậy I = I1 – I2 = 
Câu IV.
Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên .
Ta có 
Hạ tính được ;
Trong tam giác vuông SIH có .
(E là trung điểm của AB).
.
Câu V.
Từ giả thiết ta có: 
x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz
Đặt a = x + y và b = x + z
Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz
 Mặt khác
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2
	= 
	= 
	= 
Ta lại có:
3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)
3(y + z)2 . (y + z) = 3(y + z)3 	(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Câu VI .a
Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I.
Ta có N , F AB, IE NE.
Tính được N = (11; -1) .
Giả sử E = (x; y), ta có: 
 = (x – 6; y – 2); = (x – 11; y + 1).
. = x2 – 17x + 66 + y2 – y – 2 = 0 	(1)
E x + y – 5 = 0 .	(2)
Giải hệ (1), (2) tìm được x1 = 7; x2 = 6.
Tương ứng có y1 = -2; y2 = -1E1 = (7; -2); E2 = (6; -1)
Suy ra F1 = (5; 6), F2 = (6; 5).
Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = 0 hoặc y = 5 .
2. Mặt cầu có tâm I(1;2;3) bán kính R=5
Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là 
	.
Vì d(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn.
Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thẳng qua I, vuông góc với (P). Dễ dàng tìm được H= (3;0;2). 
Bán kính đường tròn là: .
Câu VII. a
Phương trình: z2 + 2z + 10 = 0
Ta có: = (-1)2 – 10 = -9 = (3i)2
nên phương trình có hai nghiệm là:
z1 = -1 – 3i và z2 = -1 + 3i
Suy ra 
Vậy A = + 
Chương trình nâng cao
Câu VI. b
1. 
Đường tròn (C) có tâm I(-2;-2); bán kính 
Gọi H là hình chiếu của I trên .
Để cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A,B phân biệt thì: IH<R
Khi đó 
 khi (hiển nhiên IH < R)
Vậy, có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là: m = 0 và m = 
2. Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.
Vì nên: 
Khoảng cách từ M đến mp (P) là:
Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với , ta có:
	Hay (Q): 
	Gọi H là giao điểm của (Q) và Tọa độ H là nghiệm của hpt:
	Yêu cầu bài toán trở thành:
	Vậy có 2 điểm thoả mãn là: M(0;1;-3) và M
Câu VII b.
Điều kiện 	
Viết lại hệ dưới dạng:
: thỏa mãn