Đề thi tuyển sinh đại học năm 2011 môn: Toán học - Khối: D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 
Môn: TOÁN; Khối: D 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2,0 điểm) 
 Cho hàm số 4 2(3 2) 3y x m x= − + + m mC m có đồ thị là là tham số. ( ),
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0.m = 
2. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 1y = − ( mC )
Câu II (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0.x x x x− − = 
2. Giải hệ phương trình 2
2
( 1) 3 0
( , ).5( ) 1 0
x x y
x y
x y
x
+ + − =⎧⎪ ∈⎨ + − + =⎪⎩
\ 
Câu III (1,0 điểm) 
Tính tích phân 
3
1
.
1x
dxI
e
= −∫ 
Câu IV (1,0 điểm) 
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại . ' ' 'ABC A B C ABC , , ' 2 , ' 3 .B AB a AA a A C a= = = Gọi M 
là trung điểm của đoạn thẳng ' ',A C I là giao điểm của và Tính theo thể tích khối tứ diện và 
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( 
AM ' .A C a IABC
A ).IBC
Câu V (1,0 điểm) 
Cho các số thực không âm ,x y thay đổi và thoả mãn 1.x y+ = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 2 2(4 3 )(4 3 ) 25 .S x y y x xy= + + + 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Ox cho tam giác có là trung điểm của cạnh Đường trung 
tuyến và đường cao qua đỉnh lần lượt có phương trình là 
y ABC (2;0)M .AB
A 7 2 3 0x y− − = và Viết phương 
trình đường thẳng 
6 4 0.x y− − =
.AC
2. Trong không gian với hệ toạ độ , cho các điểm và mặt phẳng 
 Xác định toạ độ điểm 
Oxyz (2;1;0), (1;2;2), (1;1;0)A B C
( ) : 20 0.P x y z+ + − = D thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng CD song song 
với mặt phẳng ( 
AB
).P
Câu VII.a (1,0 điểm) 
Trong mặt phẳng toạ độ ,Ox tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn điều kiện | y z (3 4 ) | 2.z i− − =
B. Theo chương trình Nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho đường tròn .Oxy 2 2( ) : ( 1) 1C x y− + = Gọi là tâm của Xác định 
toạ độ điểm 
I ( ).C
M thuộc sao cho ( )C nIMO = 30 .D 
2. Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng Oxyz 2 2:
1 1 1
x y+ −Δ = = −
z
m
 và mặt phẳng 
 Viết phương trình đường thẳng nằm trong ( sao cho d cắt và vuông góc với 
đường thẳng 
( ) : 2 3 4 0.P x y z+ − + = d )P
.Δ
Câu VII.b (1,0 điểm) 
Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng m 2y x= − + cắt đồ thị hàm số 
2 1x xy
x
+ −= tại hai điểm phân 
biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng thuộc trục tung. ,A B AB
---------- Hết ---------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................ 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 
Môn: TOÁN; Khối: D 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM 
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát 
Khi 0,m = 4 22 .y x x= −
• Tập xác định: .D = \
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: hoặc 3' 4 4 ;y x x= − ' 0y = ⇔ 1x = ± 0.x =
0,25 
Hàm số nghịch biến trên: ( ; và đồng biến trên: và (1 1)−∞ − (0;1); ( 1;0)− ; ).+ ∞
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y1, 1;CTx y= ± = − 0,x = CĐ 0.=
- Giới hạn: lim lim .
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞
0,25 
- Bảng biến thiên: 
 Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
2. (1,0 điểm) Tìm ...m
Phương trình hoành độ giao điểm của ( và đường thẳng )mC 1:y = −
4 2(3 2) 3 1.x m x m− + + = −
Đặt phương trình trở thành: 2 , 0;t x t= ≥ 2 (3 2) 3 1 0t m t m− + + + =
0,25 
⇔ hoặc t m 1t = 3 1.= + 0,25 
Yêu cầu của bài toán tương đương: 
0 3 1 4
3 1 1
m
m
< + <⎧⎨
+ ≠⎩ 0,25 
I 
(2,0 điểm) 
⇔ 1 1,
3
m− < < 0.m ≠ 0,25 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình 
Phương trình đã cho tương đương: 3 cos5 (sin 5 sin ) sin 0x x x x− + − = 
⇔ 3 1cos5 sin 5 sin
2 2
x x x− = 
x −∞ 1− 0 1 
y' − 0 + 0 − 0 + 
y 
+∞
1− 1− 
0 
 +∞ 
+∞ 
x 
O
y 
2− 21−
1− 1
8
0,25 
II 
(2,0 điểm) 
⇔ sin 5 sin
3
x xπ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
 Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm
⇔ 5 2
3
x x kπ π− = + hoặc 5 2
3
x x kπ π π− = − + . 0,25 
Vậy: 
18 3
x kπ π= + hoặc 
6 2
x kπ π= − + ( ). k ∈] 0,25 
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Hệ đã cho tương đương: 
2
2
31 0
5( ) 1
x y
x
x y
x
⎧
+ + − =⎪
0⎪ + − + =⎪⎩
⎪⎨ 0,25 
⇔ 2
2
3 1
3 51 1 0
⇔
x y
x
x x
⎧
+ = −⎪⎪⎨⎛ ⎞⎪
− − + =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
2
3 1
4 6 2 0
x y
x
xx
⎧
+ = −⎪⎪⎨⎪
− + =⎪⎩
 0,25 
⇔ 
1 1
2
x
x y
⎧
=⎪⎨⎪ + =⎩
 hoặc 
1 1
2
1
2
x
x y
⎧
=⎪⎪⎨ ⎪ + =⎪⎩
0,25 
⇔ 
1
1
x
y
=⎧⎨
=⎩
 hoặc 
2
3 .
2
x
y
=⎧⎪⎨
= −⎪⎩
Nghiệm của hệ: và ( ; ) (1;1)x y = 3( ; 
0,25 
) 2; .
2
x y ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Tính tích phân 
Đặt 3, ; 1, ; 3,x dtt e dx x t e x t e
t
= = = = = = 0,25 . 
3
( 1)
e
e
dtI
t t
=
−
∫ =
3
1 1
1
e
e
∫ dtt t⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠ 0,25 
= 
3 3
ln | 1| ln| |e ee et t− − 0,25 
III 
(1,0 điểm) 
= 2ln( 1) 2.e e+ + − 0,25 
Tính thể tích khối chóp... IV 
(1,0 điểm) Hạ ; là đường cao 
của tứ diện 
( )IH AC H AC⊥ ∈ ⇒ ( )IH ABC⊥ IH
.IABC 
⇒ // 'IH AA ⇒ 2
' ' 3
IH CI
AA CA
= = ⇒ 2 4' .
3 3
aIH AA= = 
2 2' ' 5,AC A C A A a= − = 2 2 2 .BC AC AB a= − = 
Diện tích tam giác :ABC 21 . .
2ABC
S AB BCΔ = = a 
Thể tích khối tứ diện :IABC 
31 4. .
3 9ABC
aV I H SΔ= =
0,50 
A C 
C' A' 
B
B' 
M 
K 
I 
H 
a 
2a 
3a 
 Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm
Hạ ' ( ' ).AK A B K A B⊥ ∈ Vì ( ' ')BC ABB A⊥ nên ⇒ AK BC⊥ ( ).AK IBC⊥ 
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) là IBC .AK 0,25 
'
2 2
2 '. 2 5 .
' 5'
AA BS AA AB aAK
A B A A AB
Δ
= = =
+
 0,25 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
Do nên: 1,x y+ = 2 2 3 316 12( ) 9 25S x y x y xy x= + + + + y
0,25 
 2 2 316 12 ( ) 3 ( ) 34x y x y xy x y xy⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦ 2 216 2 12.x y xy= − + 
Đặt ta được: ,t xy= 216 2 12;S t t= − +
2( ) 10
4 4
x yxy +≤ ≤ = ⇒ 10; .
4
t ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Xét hàm trên đoạn 2( ) 16 2 12f t t t= − + 10;
4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
'( ) 32 2;f t t= − '( ) 0f t = ⇔ 1 ;
16
t = (0) 12,f = 1
16
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
191,
16
 1
4
f ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =
25.
2
10;
4
1 25max ( ) ;
4 2
f t f
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 10;
4
1 191min ( ) .
16 16
f t f
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,25 
Giá trị lớn nhất của bằng S 25 ;
2
 khi 
1
1
4
x y
xy
+ =⎧⎪⎨
=⎪⎩
 ⇔ 1 1( ; ) ; .
2 2
x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
V 
(1,0 điểm) 
Giá trị nhỏ nhất của bằng S 191;
16
 khi 
1
1
16
x y
xy
+ =⎧⎪⎨
=⎪⎩
⇔ 2 3 2 3( ; ) ;
4 4
x y
⎛ ⎞+ −
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 hoặc 2 3 2 3( ; ) ; .
4 4
x y
⎛ ⎞
− +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0,25 
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng 
Toạ độ A thoả mãn hệ: ⇒ 7 2 3 0
6 4 0
x y
x y
− − =⎧⎨
− − =⎩
(1;2).A
B đối xứng với A qua ,M suy ra (3; 2).B = −
0,25 
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6 4x y− − = 0.
.Phương trình : 6 9 0BC x y+ + = 0,25 
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng N BC thoả mãn hệ: 
7 2 3 0
6 9 0
x y
x y
− − =⎧⎨
+ + =⎩
⇒ 30; .
2
N ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
⇒ phương trình đường thẳng (2. 4; 3 ;AC MN= = − − )JJJG JJJJG : 3 4 5 0.AC x y− + = 0,25 
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm ...D 
( 1;1;2),AB = −
JJJG
 phương trình :AB
2
1
2 .
x t
y t
z t
= −⎧⎪
= +⎨⎪
=⎩
 0,25 
VI.a 
(2,0 điểm) 
D thuộc đường thẳng AB (2 ;1 ;2 ) (1 ; ;2 ).D t t t CD t t t⇒ − + ⇒ = −JJJG 0,25 
 Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) :P (1;1;1).n =
G
C không thuộc mặt phẳng ( ).P
//( ) . 0CD P n CD⇔ =
G JJJG 11.(1 ) 1. 1.2 0 .
2
t t t t⇔ − + + = ⇔ = − Vậy 5 1; ; 1 .
2 2
D⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,50 
Tìm tập hợp các điểm 
Đặt ( , );z x yi x y= + ∈\ ( ) ( )3 4 3 4 .z i x y− + = − + +
VII.a 
i 0,25 
Từ giả thiết, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 2 3 4 4x y x y− + + = ⇔ − + + = . 0,50 
(1,0 điểm) 
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm bán kính z (3; 4I − ) 2.R = 0,25 
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm ...M 
Gọi điểm ( ); .M a b Do ( );M a b thuộc nên ( )C ( )2 21 1;a b− + = ( )O C∈ ⇒ 1.IO IM= = 0,25 
Tam giác IMO có nên nOIM = 120D 2 2 2 2 22 . .cos120 3.OM IO IM IO IM a b= + − ⇔ + =D 0,25 
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ( )
2 2
2 2
3
1 1 2
33 .
2
aa b
a b b
⎧
=⎪⎧
− + =⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
+ =⎪ ⎪⎩ = ±⎪⎩
 Vậy 3 3; .
2 2
M
⎛ ⎞
= ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 0,50 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng 
Toạ độ giao điểm của với thoả mãn hệ: I Δ ( )P
2 2
1 1 1
x
2 3 4 0
y z
x y z
+ −⎧
= =⎪
−⎨⎪ + − + =⎩
 ⇒ ( 3;1;1).I − 0,25 
Vectơ pháp tuyến của vectơ chỉ phương của ( ) :P (1;2; 3);n = −
G
:Δ (1;1; 1).u = −
G
 0,25 
Đường thẳng cần tìm qua và có vectơ chỉ phương d I ( ), 1; 2; 1v n u⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦
G
.
G G
 0,25 
VI.b 
(2,0 điểm) 
Phương trình :d
3
1 2
1 .
x t
y t
z t
= − +⎧⎪
= −⎨⎪
= −⎩
 0,25 
Tìm các giá trị của tham số ...m VII.b 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
2 1 2x x x m
x
+ −
= − + ⇔ 23 (1 ) 1 0 ( 0).x m x x+ − − = ≠ 0,25 
(1,0 điểm) 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 0 với mọi .m 0,25 
1 2 1.
2 6I
x x mx + −= =Hoành độ trung điểm của I 0,25 :AB
10 0
6I
mI Oy x m−∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ =1. 0,25 
-------------Hết-------------