Đề thi tuyển sinh đại học năm 2013 môn: Toán - Khối A và A1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 	ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 Môn : TOÁN - Khối : A và A1
 Thời gian làm bài 180 phút,không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số , với m là tham số thực
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 
	b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y Î R).
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : và . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5;-4).
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm A(1;7;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với . Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho AM = .
Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng . Đường tròn (C) có bán kính R = cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = . Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C).
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu . Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
-- Hết --
BÀI GIẢI
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số , với m là tham số thực
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 
	b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)
a) 	m= 0, hàm số thành : y = -x3 + 3x2 -1. Tập xác định là R. 
	y’ = -3x2 + 6x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2; y(0) = -1; y(2) = 3
	 và 
x
-¥ 	 0	2 +¥
y’
 -	 0 +	 0 -
y 
+¥ 3 
 -1 -¥
	Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0) ; (2; +∞); hàm số đồng biến trên (0; 2)
	Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y(0) =-1; hàm số đạt cực đại tại x = 2; y(2) = 3
y
	y" = -6x + 6; y” = 0 Û x = 1. Điểm uốn I (1; 1)
	Đồ thị : 
3
0
x
2
-1
y’ = -3x2 + 6x+3m, y’ = 0 Û m==g(x)
do đó yêu cầu bài toán Û y’
	 Û m 
	 Û
	 Û 
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 
1+tanx=2(sinx+cosx)
	Û cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên cosx=0 không là nghiệm)
	Û sinx+cosx=0 hay cosx =	Û tanx=-1 hay cosx =
	Û 
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y Î R).
Đk 
Vậy: 
Đặt f(t) = thì f đồng biến trên [1, +¥)
Nên (**) Û f(x) = f(y4 + 1) Û x = y4 + 1
Thế vào (*) ta có : 4y = (y4 + y)2 = y8 + 2y5 + y2
Û Û (vì g(y) = y7 + 2y4 + y đồng biến trên [0, +¥)
Vậy (x; y) = (1; 0) hay (x; y) = (2; 1).
Cách khác : Þ x = -y + 1 vì x ³ 1
Þ x = -y + 1 
Đặt u = x – 1 ³ 0 và v = y4 ³ 0, ta được 
Xét hàm số f(t) = tăng trên [0; +¥) Þ f(u) = f(v) Þ u = v Þ x – 1 = y4
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 
Đặt t=lnx 
Đặt u=t , chọn 
I = = 
Cách khác : Đặt 
dv = 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
S 
A 
B 
C 
H 
I 
Gọi H là trung điểm BC thì SH ^ (ABC) và SH = 
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên
BC=a, 
, Gọi I là trung điểm AB
HI=a/4, 
Vẽ HK ^ SI thì HK ^ (SAB), ta có 
Vậy d(C, SAB)= 2HK = 
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Gỉa thiết Û 
	Đặt x = ; y = thì (x + 1)(y + 1) = 4 Û S + P = 3 P = 3 – S
	P = ³ = 
 = = = 
	P’ = 3 (S – 1)2 – > 0, "S ³ 2 Þ P min = P (2) = 1 – 
	Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x = y = 1.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : và . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5;-4).
C(t;-2t-5)
Gọi I là trung điểm của AC, suy ra 
Ta có: IC2 = IA2, suy ra t =1
Tọa độ C(1;-7)
B là điểm đối xứng của N qua AC. Dễ dàng tìm được B(-4;-7)
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm A(1;7;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với . Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho AM = .
Ptmp (P) ^ D có 1 pháp vectơ là (-3; -2; 1). 
Vậy ptmp (P) là : -3(x – 1) – 2(y – 7) + z – 3 = 0 Û 3x + 2y – z – 14 = 0
M thuộc D Û M (6 -3t; -1 – 2t; -2 + t) 
YCBT Û (5 – 3t)2 + (-8 – 2t)2 + (-5 + t)2 = 120
	Û 14t2 – 8t – 6 = 0 Û t = 1 hay t = 
Vậy tọa độ điểm M là (3; -3; -1) hay (; ; ).
Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Số cách gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là số chẵn: 3.6.5=90 
Số phần tử S là 90.
Số cách gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là: 5.6.7=210	
Xác suất để chọn 3 số tự nhiên phân biệt là số chẵn từ 7 số đã cho là 90 : 210 =3/7
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng . Đường tròn (C) có bán kính R = cắt tại hai điểm A và B sao cho AB = . Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C).
Cos(AIH) = Þ IH = 
Vậy MH = MI – IH = 4; với M Î Oy (0; y)
MI ^ AB Þ MI : x + y + c = 0 ; M (0;-c)
MH = d (M; D) = = 4 Þ c = 8 hay c =-8
I (t; -t – 8) hay (t; -t + 8)
d (I; D) = Û t = -3 hay t = -5
+ Với t = -3 Þ I (-3; -5); t = -5 Þ I (-5; -3) 
Þ Pt 2 đường tròn cần tìm là : (x + 3)2 + (y + 5)2 = 10 hay (x + 5)2 + (y + 3)2 = 10.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu . Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
(S) có tâm là I (1; -2; 1) và R2 = 14.
Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là : = = R
Vậy (P) tiếp xúc với (S).
Pt (d) qua I và ^ D : , T Î (d) Þ T (1 + 2t; 3t – 2; 1 + t)
T Î (P) Þ t = 1. Vậy T (3; 1 ; 2).
Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
r = = 2; tgj = , chọn j = 
Þ dạng lượng giác của z là z = 
	Þ z5 = 
	Þ w = 32(1 + i) =
	Vậy phần thực của w là : và phần ảo là .