Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2012 môn Toán - Khối: A
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2012 môn Toán - Khối: A, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mụn Toỏn; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điờ̉m) Cõu 1 (2,0 điờ̉m) Cho hàm sụ́ ,với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. b) Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giỏc vuụng. Cõu 2 (2,0 điờ̉m) Giải phương trình Cõu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y ẻ R). Cõu 4 (1,0 điờ̉m) Tớnh tớch phõn Cõu 5 (1,0 điờ̉m) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Cõu 6 (1,0 điểm) : Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món điều kiện x +y + z = 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức . PHẦN RIấNG (3,0 điểm): Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trờn cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử và đường thẳng AN cú phương trỡnh 2x – y – 3 = 0. Tỡm tọa độ điểm A. Cõu 8.a (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giỏc IAB vuụng tại I. Cõu 9.a (1,0 điểm). Cho n là số nguyờn dương thỏa món . Tỡm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn , x ≠ 0. B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C) : x2 + y2 = 8. Viết phương trỡnh chớnh tắc elip (E), biết rằng (E) cú độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hỡnh vuụng. Cõu 8.b (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: , mặt phẳng (P) : x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2). Viết phương trỡnh đường thẳng D cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Cõu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa . Tớnh mụđun của số phức w = 1 + z + z2. BÀI GIẢI GỢI Ý PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điờ̉m) Cõu 1: a/ Khảo sát, vẽ (C) : m = 0 ị y = x4 – 2x2 D = R, y’ = 4x3 – 4x, y’ = 0 Û x = 0 hay x = ±1 Hàm số đồng biến trờn (-1; 0) và (1; +Ơ), nghịch biến trờn (-Ơ;-1) và (0; 1) x y -1 O - -1 1 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 0, đạt cực tiểu tại x = ±1 và yCT = -1 Bảng biến thiờn : x -Ơ -1 0 1 +Ơ y’ - 0 + 0 - 0 + y +Ơ 1 +Ơ -1 -1 y = 0 Û x = 0 hay x = Đồ thị tiếp xỳc với Ox tại (0; 0) và cắt Ox tại hai điểm (; 0) b/ y’ = 4x3 – 4(m + 1)x y’ = 0 Û x = 0 hay x2 = (m + 1) Hàm số cú 3 cực trị Û m + 1 > 0 Û m > -1 Khi đú đồ thị hàm số cú 3 cực trị A (0; m2), B (-; – 2m – 1); C (; –2m – 1) Do AB = AC nờn tam giỏc chỉ cú thể vuụng tại A. Gọi M là trung điểm của BC ị M (0; -2m–1) Do đú ycbt Û BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) Û 2 = 2(m2 + 2m + 1) = 2(m + 1)2 Û 1 = (m + 1) = (do m > -1) Û 1 = (m + 1) (do m > -1) Û m = 0 Cõu 2. Û sinxcosx + 2cos2x = 2cosx Û cosx = 0 hay sinx + cosx = 1 Û cosx = 0 hay sinx + cosx = Û cosx = 0 hay Û x = hay Cõu 3: Đặt t = -x Hệ trở thành . Đặt S = y + t; P = y.t Hệ trở thành . Vậy nghiệm của hệ là Cỏch khỏc : . Đặt u = x; v = y + Hệ đó cho thành Xột hàm f(t) = cú f’(t) = < 0 với mọi t thỏa ỗtỗÊ 1 ị f(u) = f(v + 1) ị u = v + 1 ị (v + 1)2 + v2 = 1 ị v = 0 hay v = -1 ị hay ị Hệ đó cho cú nghiệm là . Cõu 4. = = = . Với Đặt u = ln(x+1) du = ; dv = , chọn v = - 1 J = + = + = + ln3 = . Vậy I = Cỏch khỏc : Đặt u = 1 + ln(x+1) ị du = ; đặt dv = , chọn v = , ta cú : + = = B A C S H M K D I Cõu 5. Gọi M là trung điểm AB, ta cú ; SH = CH.tan600 = dựng D sao cho ABCD là hỡnh thoi, AD//BC Vẽ HK vuụng gúc với AD. Và trong tam giỏc vuụng SHK, ta kẻ HI là chiều cao của SHK. Vậy khoảng cỏch d(BC,SA) chớnh là khoảng cỏch 3HI/2 cần tỡm. , hệ thức lượng Cõu 6. x + y + z = 0 nờn z = -(x + y) và cú 2 số khụng õm hoặc khụng dương. Do tớnh chất đối xứng ta cú thể giả sử xy ³ 0 Ta cú = ³ ³ . Đặt t = , xột f(t) = f’(t) = ị f đồng biến trờn [0; +Ơ) ị f(t) ³ f(0) = 2 Mà ³ 30 = 1. Vậy P ³ 30 + 2 = 3, dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 0. Vậy min P = 3. B A C D N M A. Theo chương trỡnh Chuẩn : Cõu 7a. Ta cú : AN = ; AM = ; MN = ; cosA = = ị (Cỏch khỏc :Để tớnh = 450 ta cú thể tớnh ) Phương trỡnh đường thẳng AM : ax + by = 0 Û 3t2 – 8t – 3 = 0 (với t = ) ị t = 3 hay + Với t = 3 ị tọa độ A là nghiệm của hệ : ị A (4; 5) + Với ị tọa độ A là nghiệm của hệ : ị A (1; -1) Cỏch khỏc: A (a; 2a – 3), , MA = Û Û a = 1 hay a = 4 ị A (1; -1) hay A (4; 5). Cõu 8a. Ta cú M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi = (1; 2; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. ị ị IH = ị R = ị phương trỡnh mặt cầu (S) là : . Cõu 9.a. Û Û 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) ị n = 7 Gọi a là hệ số của x5 ta cú Û ị 14 – 3i = 5 ị i = 3 và ị a = . Vậy số hạng chứa x5 là .x5. B. Theo chương trỡnh Nõng cao : Cõu 7b Phương trỡnh chớnh tắc của (E) cú dạng : . Ta cú a = 4 (E )cắt (C ) tại 4 điểm tạo thành hỡnh vuụng nờn : M (2;-2) thuộc (E) . Vậy (E) cú dạng Cõu 8b. ; A là trung điểm MN ; đi qua A và N nờn phương trỡnh cú dạng : Cõu 9b. z = 1 + i; BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ---------------------------------------- Mụn: TOÁN; Khối B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Cõu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số là tham số thực. a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . b) Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú hai điểm cực trị A và B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 48. Cõu 2. (1,0 điểm). Giải phương trỡnh . Cõu 3. (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh Cõu 4. (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn . Cõu 5. (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC với SA = 2, AB = a. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn cạnh SC. Chứng minh SC vuụng gúc với mặt phẳng (ABH). Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABH theo . Cõu 6. (1,0 điểm). Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món cỏc điều kiện và . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức . II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) : Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần riờng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cỏc đường trũn , và đường thẳng . Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc , tiếp xỳc với d và cắt tại hai điểm phõn biệt A và B sao cho AB vuụng gúc với d. Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trỡnh mặt cầu đi qua A, B và cú tõm thuộc đường thẳng d. Cõu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm cú 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giỏo viờn gọi ngẫu nhiờn 4 học sinh lờn bảng giải bài tập. Tớnh xỏc suất để 4 học sinh được gọi cú cả nam và nữ. B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú AC = 2BD và đường trũn tiếp xỳc với cỏc cạnh của hỡnh thoi cú phương trỡnh . Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) đi qua cỏc đỉnh A, B, C, D của hỡnh thoi. Biết A thuộc Ox. Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho. Viết phương trỡnh mặt phẳng qua A và cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giỏc ABC cú trọng tõm thuộc đường thẳng AM. Cõu 9.b (1,0 điểm). Gọi và là hai nghiệm phức của phương trỡnh Viết dạng lượng giỏc của và . Hết BÀI GIẢI Cõu 1: a) m= 1, hàm số thành : y = x3 – 3x2 + 3. Tập xỏc định là R. y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2; y(0) = 3; y(2) = -1 và x -Ơ 0 2 +Ơ y’ + 0 - 0 + y 3 +Ơ -Ơ CĐ -1 CT Hàm số đồng biến trờn (-∞; 0) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trờn (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y(0) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -1 y x 0 3 2 -1 y" = 6x – 6; y” = 0 Û x = 1. Điểm uốn I (1; 1) Đồ thị : b) y’ = 3x2 – 6mx, y’ = 0 Û x = 0 hay x = 2m y cú 2 cực trị Û m ạ 0 Vậy A (0; 3m3) và B (2m; -m3) SDOAB = Û m4 = 16 Û m = ±2 (nhận so với đk) Cõu 2 : Cõu 3 : Giải bất phương trỡnh . Đk : 0 Ê x Ê hay x ³ nhận xột x = 0 là nghiệm + Với x ạ 0, BPT Û ³ 3 Đặt t = ị = t2 – 2 (t ³ 2) Ta cú : Û Û t ³ 3 hay Û Û hay x ³ 4 Kết hợp với đk ị 0 Ê hay x ³ 4. Cõu 4 : Đặt t = ; ; A B C S H O D Cõu 5 Nối BH ta cú tam giỏc ABH cõn tại H, do tớnh chất đối xứng . Vậy . Gọi SD là chiều cao của tam giỏc SAB Ta cú Cõu 6. ị P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y) = ; t = x + y f(t) = f’(t) = f’(t) = 0 Û t = t f’(t) – 0 + 0 – f(t) Vậy P Ê . Vậy max P = xảy ra khi t = Û (cú nghiệm) hay (cú nghiệm) Cõu 7a. Phương trỡnh đường trũn (C) : Phương trỡnh đường thẳng AB : AB cú vtcp (b;-a) Đường thẳng (d) cú vtcp vỡ (1) d(I,d) = Û 8 = 2a2 – c (2) Thế (1) vào (3) ta cú : Thế vào (2) ta cú : c = 10 Vậy phương trỡnh đường trũn (C) : Cỏch khỏc : Gọi I (a;b) ; vỡ đường trũn tõm I cắt (C1) tõm O tại A, B sao cho AB . Mà . Vậy d(I/d) = d(O/d) = = R Ta cú : Hệ (1) ; (loại) vỡ I và O phải cựng phớa so với (d). Hệ (2) Phương trỡnh đường trũn : Cõu 8a. Gọi tõm mặt cầu là , Ta cú , Vậy phương trỡnh mặt cầu là : Cõu 9a. Số cỏch gọi 4 học sinh lờn bảng là : Số cỏch gọi 4 học sinh cú cả nam lẫn nữ là : TH 1: 1 nữ 3 nam cú : 10.455 = 4550 TH 2: 2 nữ 2 nam cú : 4725 TH 3 : 3 nữ 1 nam cú : 1800 Vậy số cỏch gọi 4 học sinh cú nam và nữ là : 4550 + 4725 + 1800 = 11075 Vậy xỏc suất để 4 học sinh được gọi cú cả nam lẫn nữ là : Cỏch khỏc: Xỏc suất chọn khụng cú nam: P1 = Xỏc suất chọn khụng cú nữ : P2 = Xỏc xuất cú cả nam và nữ : P = 1 – (P1 + P2) = B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7b. Đặt AC = 2a , BD = a . Bỏn kớnh đường trũn nội tiếp hỡnh thoi R = 2. Ta cú Vậy phương trỡnh của (E) : Cõu 8b. Gọi B là giao điểm của mặt phẳng với Ox, B(b;0;0). C là giao điểm của mặt phẳng với Oy, C(0;c;0). Vậy pt mặt phẳng cú dạng : và trọng tõm tam giỏc ABC là : . Pt đường thẳng AM : Vỡ nờn Vậy pt mặt phẳng (P) là Cõu 9b. Phương trỡnh cú hai nghiệm là Vậy dạng lượng giỏc của z1, z2 là : z1 = 2(cos+ isin); BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mụn Toỏn; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m là tham số thực. a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tỡm m để hàm số (1) cú hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 Cõu 2 (1,0 điểm) Giải phương trỡnh sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x Cõu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh (x, y ẻ R) Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn . Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy là hỡnh vuụng, tam giỏc A’AC vuụng cõn, A’C = a. Tớnh thể tớch khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. Cõu 6 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực x, y thỏa món (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy Ê 32. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2). II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm): Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần riờng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD. Cỏc đường thẳng AC và AD lần lượt cú phương trỡnh là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (; 1). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD. Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trỡnh mặt cầu tõm I cắt (P) theo một đường trũn cú bỏn kớnh bằng 4. Cõu 9.a (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa món (2 + i)z + . Tỡm mụđun của số phức w = z + 1 + i. B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0). Xỏc định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giỏc AMB vuụng tại M. Cõu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trỡnh z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trờn tập hợp cỏc số phức. BÀI GIẢI Cõu 1: a) m= 1, hàm số thành : y = x3 – x2 – 4x + . Tập xỏc định là R. y’ = 2x2 – 2x – 4; y’ = 0 Û x = -1 hay x = 2; y(-1) = 3; y(2) = -6 và x -Ơ -1 2 +Ơ y’ + 0 - 0 + y 3 +Ơ -Ơ CĐ -6 CT Hàm số đồng biến trờn (-∞; -1) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến trờn (-1; 2) Hàm số đạt cực đại tại x = -1; y(-1) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y(2) = -6 y x 0 3 -6 -1 2 y" = 4x – 2; y” = 0 Û x = . Điểm uốn I (; ) Đồ thị : b) y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) y cú 2 cực trị Û D’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 0 Û 13m2 – 4 > 0 Û m Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) = 1 Û -(3m2 – 1) + 2m = 1 Û 3m2 – 2m = 0 Û m = 0 (loại) hay m = (nhận) Cõu 2 : sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x Û sin3x – sinx + cos3x + cosx = cos2x Û 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = cos2x Û cos2x = 0 hay 2sinx + 2cosx = Û cos2x = 0 hay Û x = hay x = hay x = (với k ẻ Z). Cõu 3: Û Û hay Û hay Û hay hay Cõu 4: . Đặt u = x ị du = dx dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – cos2x I = = Cõu 5: A B C C/ A/ B/ D/ D H Hạ AH vuụng gúc A/B trong tam giỏc ABA/ Chớnh là d(A,BCD/) =h Ta cú Cõu 6: Ta cú A = = A Đặt t = x + y (), xột f(t) = f’(t) = f’(t) = 0 khi t = ; f(0) = 6, f(8) = 398, f() = Vậy giỏ trị nhỏ nhất của f(t) là xảy ra khi t = A f(t) . Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y = hay x = y = PHẦN RIấNG A. Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu 7a: AC cắt AD tại A (-3; 1) Vẽ MN // AD (N ẻ AC) ị MN : 3x – 3y + 4 = 0 Trung điểm của MN : K () Vẽ KE ^ AD (E ẻ AD) ị KE : ị E (-2; 2) E là trung điểm AD ị D (-1; 3). Giao điểm của AC và EK : I (0; 0) I là trung điểm BD ị B (1; -3). I là trung điểm AC ị C (3; -1) Cõu 8a: IH = d(I, (P)) = ; R2 = IH2 + r2 = 9 + 16 = 25 (S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25. Cõu 9a : (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = 7 + 8i Û (2 + i)z + 1 + i – 2i2 = 7 + 8i Û (2 + i)z = 7i + 4 Û z = Suy ra : w = z + 1 + I = 4 + 3i ị B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7b: I ẻ (d) ịI (t; 2t + 3) . AB = CD ị ờt ờ = ờ2t + 3ờ Û t = -1 hay t = -3 + t = -1 ị I (-1; 1) ị R = ị pt đường trũn : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2 + t = -3 ị I (-3; -3) ị R = ị pt đường trũn : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 Cõu 8b: Gọi M (2t + 1; -1 – t; t) thuộc (d) DAMB vuụng tại M Û = (2t; -t; t – 2) vuụng gúc với = (2t – 1; -t; t) Û 6t2 – 4t = 0 Û t = 0 hay t = . Vậy M (1; -1; 0) hay M (). Cõu 9b: z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 D = 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2 z = Û z = -1 – 2i hay z = -2 – i.
File đính kèm:
De và HDC Khoi ABD năm 2012.doc
