Đề thi tuyển sinh đại học năm học 2013 môn Toán - Khối D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối D
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x3 − 3mx2 + (m− 1)x+ 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đường thẳng y = −x+ 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 3x+ cos 2x− sinx = 0.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 log
2
x+ log 1
2
(
1−√x
)
=
1
2
log√
2
(
x− 2√x+ 2
)
.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1∫
0
(x+ 1)2
x2 + 1
dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, B̂AD = 120◦, M là trung điểm của cạnh BC và ŜMA = 45◦. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P =
x+ y√
x2 − xy + 3y2
− x− 2y
6(x+ y)
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M
(
− 9
2
;
3
2
)
là trung điểm của cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm C .
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1;−1;−2), B(0; 1; 1)
và mặt phẳng (P ) : x+y+z−1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương
trình mặt phẳng đi qua A,B và vuông góc với (P ).
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i) + 2z = 2i. Tính môđun của
số phức w =
z − 2z + 1
z2
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−1)2+(y−1)2 = 4
và đường thẳng ∆ : y − 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N
và P thuộc ∆, đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P .
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3;−2) và mặt phẳng
(P ) : x− 2y − 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P ). Viết phương trình mặt phẳng đi qua
A và song song với (P ).
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
2x2 − 3x+ 3
x+ 1
trên đoạn [0; 2].
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 
Mơn: TỐN; Khối D 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
Câu Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm) 
Khi m = 1 ta cĩ 3 22 3 1y x x .= − + 
• Tập xác định: .D = \
• Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: hoặc 2' 6 6 ; ' 0 0y x x y x= − = ⇔ = 1.x = 
0,25 
 Các khoảng đồng biến: và ( ; 0)−∞ (1; );+ ∞ khoảng nghịch biến: (0; 1). 
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1. 
- Giới hạn: lim ; lim .
x x
y y→−∞ →+∞= −∞ = +∞
0,25 
- Bảng biến thiên: 
Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
b. (1,0 điểm) 
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng là 1y x= − +
3 22 3 ( 1) 1 1x mx m x x− + − + =− + 0,25 
2
0
2 3 0 (*
x
x mx m
=⎡⇔ ⎢ − + =⎣ ). 
Yêu cầu của bài tốn ⇔ phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 0 
0,25 
29 8
0
m m
m
− >⎧⇔⎨ ≠⎩
0 0,25 
1 
(2,0 điểm) 
x 
'y 
y 
− ∞ + ∞ 0 1 
0 0 + + − 
+ ∞ 
− ∞ 0 
1 
1 O
y 
x 
1 
0m⇔ < hoặc 8 .
9
m> 0,25 
Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với 2cos 2 sin cos 2 0x x x+ = 0,25 
cos 2 (2sin 1) 0.x x⇔ + = 0,25 
π πcos2 0 ( ).
4 2
x x k k• = ⇔ = + ∈] 0,25 
2 
(1,0 điểm) 
π 2π
62sin 1 0 ( ).
7π 2π 
6
x k
x k
x k
⎡ = − +⎢• + = ⇔ ∈⎢⎢ = +⎢⎣
] 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là π π
4 2
x k= + , π 2π,
6
x k= − + 7π 2π ( )
6
x k k= + ∈] . 
0,25 
Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với 0 x< <1.
2
2 2
1
x x x
x
= − +− 0,25 
2
2 2 1 2(1 ) 1 1 1
x x x x
x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ = + ⇔ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠− − − − 0= 0,25 
2 0
1
x
x
⇔ −− = (do 01
x
x
>− ) 0,25 
3 
(1,0 điểm) 
4 2 3.x⇔ = − 
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là 4 2 3.x= − 0,25 
Ta cĩ 
1 1 1
2 2
0 0 0
2 21 d d
1 1
x xI x x
x x
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠+ +∫ ∫ ∫ d .x 0,25 
1 1
00
d 1x x• = =∫ . 0,25 
1
12
2 0
0
2 d ln( 1) ln 2
1
x x x
x
• = + =+∫ . 0,25 
4 
(1,0 điểm) 
Do đĩ . 1 ln 2I = + 0,25 
n no o120 60BAD ABC ABC= ⇒ = ⇒Δ đều 
3
2
aAM⇒ = 
2 3 .
2ABCD
aS⇒ = 0,25 
SAMΔ vuơng tại A cĩ n o45SMA= SAM⇒Δ 
vuơng cân tại A 3 .
2
aSA AM⇒ = = 
Do đĩ 
3
.
1 . .
3 4S ABCD ABCD
aV S A S= =
0,25 
Do AD||BC nên ( ,( )) ( ,( )).d D SBC d A SBC=
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SM. 
Ta cĩ AM BC⊥ và SA BC⊥ ⇒ ( )BC SAM⊥ 
( ) ( ,( )) .BC AH AH SBC d A SBC AH⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
0,25 
5 
(1,0 điểm) 
Ta cĩ 2 6 ,
2 4
AM aAH = = 
S 
H
suy ra 6( ,( )) .
4
ad D SBC = 
0,25 
A 
B C 
M 
D 
Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm
Do 0, 0, 1x y xy y> > ≤ − nên 
2
2 2
1 1 1 1 1 1 10 .
4 2
x y
y y yy y
− ⎛ ⎞< ≤ = − = − − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 4 0,25 
Đặt ,xt suy ra 
y
= 10 .
4
t< ≤ Khi đĩ 
2
1 2 .
6( 1)3
t tP
tt t
+ −= − +− +
Xét 
2
1 2( ) ,
6( 1)3
t tf t
tt t
+ −= − +− +
 với 10 .
4
t ≤ Ta cĩ 22 3
7 3 1'( ) .
2( 1)2 ( 3)
tf t
tt t
−= − +− +
 <
Với 10
4
t 1 1.t + > 
Do đĩ 
2 3
7 3 7 3 1
6 3 32 ( 3)
t t
t t
− −> >
− +
 và 2
1 .
22( 1)t
1− >−+ Suy ra 
1 1'( ) 0.
23
f t > − > 
0,25 
Do đĩ 1 5 7( ) .
4 3 30
P f t f ⎛ ⎞= ≤ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
6 
(1,0 điểm) 
Khi 1
2
x = và ta cĩ 2,y = 5 7 .
3 30
P= + Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 7 .
3 30
+ 0,25 
7 1;
2 2
IM ⎛= −⎜⎝ ⎠.
⎞⎟
JJJG
 Ta cĩ M AB∈ và AB IM⊥ nên đường 
thẳng AB cĩ phương trình 7 33x y 0.− + = 
0,25 
( ;7 33).A AB A a a∈ ⇒ + Do M là trung điểm của AB nên 
( 9; 7 30).B a a− − − − Ta cĩ . 0HA HB HA HB⊥ ⇒ =JJJG JJJG 
2 9 20 0 4a a a⇒ + + = ⇒ =− hoặc 5.a = − 
0,25 
• Với a 4=− ⇒ ( 4;5), ( 5; 2).A B− − − Ta cĩ BH AC⊥ nên 
đường thẳng AC cĩ phương trình 2 6 0x y .+ − = Do đĩ 
(6 2 ; ).C c c− Từ IC = IA suy ra (7 Do 
đĩ c
2 22 ) ( 1) 25.c c− + − =
1= hoặc 5.c = Do C khác A, suy ra (4;1).C
0,25 
7.a 
(1,0 điểm) 
A 
M 
B 
C H 
I 
• Với a 5=− ⇒ ( 5; 2), ( 4;5).A B− − − Ta cĩ BH AC⊥ nên 
đường thẳng AC cĩ phương trình 2 8x y 0.− + = Do đĩ 
( ;2 8).C t t + Từ IC = IA suy ra Do đĩ 2 2( 1) (2 7) 25.t t+ + + =
1t = − hoặc 5.t =− Do C khác A, suy ra ( 1;6).C −
0,25 
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên (P). Suy ra ( 1 ; 1 ; 2 ).H t t t− + − + − + 0,25 
5( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 0 .
3
H P t t t t∈ ⇔ − + + − + + − + − = ⇔ = Do đĩ 2 2 1; ; .
3 3 3
H ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta cĩ (1;2;3)AB=JJJG và vectơ pháp tuyến của (P) là 
 Do đĩ (Q) cĩ vectơ pháp tuyến là (1;1;1).n =JG ' ( 1;2; 1).n = − −JG 0,25 
8.a 
(1,0 điểm) 
Phương trình của mặt phẳng (Q) là: 2 1x y z 0.− + + = 0,25 
Điều kiện của bài tốn tương đương với (3 ) 1 3i z i+ =− + 0,25 
.z i⇔ = 0,25 
Suy ra 1 3 .w i= − + 0,25 
9.a 
(1,0 điểm) 
0,25 Do đĩ mơđun của w là 10. 
Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm
Ta cĩ tâm của (C) là Đường thẳng IM vuơng gĩc với Δ 
nên cĩ phương trình 
(1;1).I
1.x = Do đĩ (1; ).M a 0,25 
Do ( )M C∈ nên .2( 1) 4a− = Suy ra 1a =− hoặc 3.a =
Mà M∉Δ nên ta được (1; 1).M − 0,25 
( ;3).N N b∈Δ⇒ Trung điểm của MN thuộc (C) 
( )
2
21 1 1 1 4= 5b⇒ =
2
b+⎛ ⎞⇒ − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ = − hoặc b 3.
Do đĩ hoặc (5;3)N ( 3;3).N − 
0,25 
7.b 
(1,0 điểm) 
( ;3).P P c∈Δ⇒ 
- Khi từ (5;3),N MP IN⊥JJJG JJG suy ra 1.c =− Do đĩ ( 1;3).P −
I 
M 
- Khi ( 3;3),N − từ MP IN⊥JJJG JJG suy ra 3.c = Do đĩ (3;3).P
0,25 
2 2 2
| ( 1) 2.3 2( 2) 5|( ,( ))
1 ( 2) ( 2)
d A P − − − − +=
+ − + −
 0,25 
 2 .
3
= 0,25 
Vectơ pháp tuyến của (P) là (1; 2; 2).n = − −JG 0,25 
8.b 
P N 
(1,0 điểm) 
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 2 3 0x y z .− − + = 0,25 
Ta cĩ ( )f x xác định và liên tục trên đoạn [0 ; ;2]
2
2
2 4 6'( ) .
( 1)
x xf x
x
+ −= + 0,25 
Với ta cĩ [0; 2]x∈ '( ) 0 1.f x x= ⇔ = 0,25 
9.b 
(1,0 điểm) 
Ta cĩ 5(0) 3; (1) 1; (2) .
3
f f f= = = 0,25 
Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 1; giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 3. 0,25 
------------- Hết -------------