Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn: Toán (4)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 120 phút 
Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A = .
1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
3. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, 
với B = A.(x-1).
Câu II (2,0 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : 
x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm giá trị của m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1).
Tim nghiệm còn lại.
Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong công việc. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc.
Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).
Câu IV (3,5 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC, đường tròn tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của CD và BE. 
1) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Chứng minh:DH.EC = EH.BD.
3) Đường trung trực của DH đi qua trung điểm I của AH.
4) OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
 --------------Hết-------------
 (Người coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh Chữ kí của người coi thi
.
Số báo danh: 
 ĐÁP ÁN
Câu I.
1)(1,5điểm) ĐKXĐ: .
Ta có: A = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
Vậy A = 
2) (0,5điểm)Thay x = 9 vào biểu thức rút gọn của A ta được:
 A = 
Vậy khi x = 9 thì A = 
3) (1điểm) Ta có: B = A.
Vì: Với mọi giá trị của x và x 
 Với mọi giá trị của x và x .
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là đạt được khi .
Câu II: 
1) (1điểm) Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành: x2 – 3x + 2 = 0 (*)
Vì phương trình (*) là một phương trình bậc hai có: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Nên phương trình (*) có hai nghiệm là x1 = 1 v à x2 = 2.
Vậy khi m = 2 t hì phương trình (1) có hai nghiệm l à x1 = 1 v à x2 = 2.
2) (1 điểm) 
+ Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trình (1). Thay x = - 2 vào phương trình (1) ta được:
Vậy với m = -1 thì phương trình(1) có một nghiệm là x = -2.
+ Thay m = - 1 vào pt (1) ta có: x2 - (-1 + 1)x + 2(-1) - 2 = 0 
 Vậy nghiệm còn lại là x = 2.
Câu III:
Đổi: 4 giờ 30 phút = giờ.
Gọi x(giờ) là thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc (ĐK: x > )
Gọi y(giờ) là thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: y > )
Khi đó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được (công việc)
 Mỗi giờ người thứ hai làm được (công việc)
 Mỗi giờ cả hai người làm được (công việc)
Ta có phương trình : (1)
 Trong 4 giờ người thứ nhất làm được (công việc)
 Trong 3 giờ người thứ hai làm được (công việc)
Theo bài ra ta có phương trình : (2) ..(1điểm)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình trên ta được: x = 12 (t/m); y = (t/m)
Trả lời: Người thứ nhất làm một mình xong công việc sau 12 giờ.
 Người thứ hai làm một mình xong công việc sau giờ, hay 7 giờ 12 phút(0,5 điểm)
Câu IV. 
 (hình vẽ đúng 0,25 điểm)
1)BDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O) ADH = 900 (kề bù với BDC )
A; D; H thuộc đường tròn đường kính AH.
Tương tự A; E; H thuộc đường tròn đường kính AH A; E; H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Hay tứ giác AEDH nội tiếp. ( 0,5 điểm) 
2)Xét DHB và EHC có BDC = BEC = 900 ( chứng minh trên). Lại có: DHB = EHC ( đối đỉnh) DHB ~ EHC (g – g) DH.EC = EH.BD ( 0,75 điểm) 
3) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD là trung điểm I của AH; I cách đều D và H do vậy đường trung trực của DH cũng đi qua I. ( 0,5 điểm) 
4) Vì tứ giác AEHD nội tiếp trong đường tròn đường kính AH nên I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.Ta có: AEI = EAI ( IA = IE); EAI = EBC ( cùng phụ với BCE); EBC = BEO (OB = OE)
Nên .AEI = BEO 
Ta có: AEI + IEB = AEB = 900 (chứng minh trên)
 Nên:BEO + IEB = 1800 OEEI OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
 (1 điểm)
---------------------------------------------------------