Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên Bắc Giang năm 2007 - 2008 môn thi: Toán

sở GD&ĐT BắC GIANG
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên bắc giang
năm học: 2007 - 2008
môn thi: TOáN
Ngày thi: 18.7.2007
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1(4 điểm)
	Cho phương trình sau: (1), là tham số.
	1) Giải phương trình (1) khi . 
	2) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm.
Câu 2(3 điểm)
	Cho .
	Chứng minh rằng nhỏ hơn .
Câu 3(4 điểm) 
1) Giải phương trình sau: . 
	2) Cho biểu thức sau: .
	Tìm và để nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4(3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau: .
Câu 5(3 điểm)
Tam giác cân tại , nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là trung điểm 
của , là trọng tâm của tam giác . Chứng minh rằng .
Câu 6(3 điểm)
Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. 
Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác
lồi.
_________________Hết_________________
 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:...... Giám thị số 1(Họ tên và kí):.................................
Số báo danh:....... Giám thị số 2(Họ tên và kí):................................
sở GD&ĐT BắC GIANG
Đề chính thức
hướng dẫn chấm thi môn toán
tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên bắc giang
năm học: 2007 - 2008
Ngày thi: 18.7.2007
 (Hướng dẫn chấm có 3 trang)
Câu
ý
Nội dung
Điểm
Câu1
(4đ)
1(1,5đ)
Với pt (1) trở thành: 
 hoặc .
Vậy với pt (1) có nghiệm là: và .
1,0
0,5
2(2,5đ)
Th1: Với không thỏa mãn (theo phần 1).
Th2: Với suy ra là một nghiệm âm của pt (1).
Đkbt tương đương với (*) có hai ngh dương
 (hệ vô nghiệm )
Th3: Với suy ra là một nghiệm dương của pt (1).
 Đkbt tương đương với (*) có hai nghiệm trái dấu
Vậy thỏa mãn đầu bài.(Hai nghiệm dương có thể bằng nhau).
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu2
(3đ)
Xét: 
suy ra , với .
Do đó 
suy ra .
Vậy nhỏ hơn .
1,0
1,0
0,75
0,25
Câu3
(4đ)
1(2đ)
Ta có (1) .
Ta thấy là nghiệm của pt (1).
Nếu thì VT(1) > 1 = VP (1) pt không có nghiệm khi .
Nếu thì VT(1) < 1 = VP (1) pt không có nghiệm khi . 
Vậy pt (1) có nghiệm là .
0,25
0,75
0,75
0,25
2(2đ)
Ta có 
 suy ra .
 (do và với .
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy min khi và .
1,0
0,5
0,5
Câu4
(3đ)
Ta có hệ 
Xét (2)
(do với nguyên dương)
 nên (2) , thay vào (1), ta được:
 (do )
 (*).
Pt (*) có nghiệm đối với 
 .
Do nguyên dương nên .
Từ đó suy ra hệ có ba nghiệm .
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,75
Câu5
(3đ)
Kẻ các trung tuyến , của chúng cắt nhau tại .
Gọi là giao điểm của và suy ra là trọng tâm .
Ta có 	 A 
.	 M
Lại có 
nên (1).
	D	E	N
Mặt khác O
và 
hay (2). G
Từ (1) và (2) suy ra
 là trực tâm của .
Vậy hay (đpcm). B	 C
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu6
(3đ)
Giả sử , , , và là 5 điểm thỏa mãn đầu bài.
Th1: Không giảm tính tổng quát nếu, , , là 4 đỉnh của một tứ giác lồi thì bài toán đã được chứng minh.
Th2: Nếu 4 điểm đó không là đỉnh của một tứ giác lồi thì tồn tại một điểm (giả sử là ) nằm trong .
Chia mặt phẳng thành 9 miền (như hình vẽ).
Khi đó nằm bên trong một miền
(do trong 5 điểm 	A
không có 3 điểm nào thẳng hàng).	8
Nếu thuộc các miền 1, 4, 8 	1	7
ta chọn bốn điểm là và , , 2
(chúng là 4 đỉnh của một tứ giác lồi).	3 D 6
Tương tự nếu thuộc các miền 2, 5, 7	4 5	
ta chọn bốn điểm là và , , 	B	C	
và nếu thuộc các miền 3, 6, 9	9
ta chọn bốn điểm là và , , .
Vậy là bao giờ cũng có thể chọn được 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
0,25
	Giám khảo chấm thi lưu ý một số điểm sau:
 1) Không cho điểm kể từ chỗ sai.
 2) Nếu thí sinh giải theo cách khác đáp án, làm đúng và lý luận chặt chẽ
thì vẫn cho điểm tối đa.