Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2013-2014 - Nguyễn Văn Tín

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
 QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014
 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013
 Môn: TOÁN (Chuyên Toán)
 Thời gian làm bài: 150 phút (Không tính thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (1,5 điểm)
	Cho biểu thức A (Với )
	a) Rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 2. (2 điểm)
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình 
Câu 3. (1,5 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và Parabol 
(P) : y = ax2 (a là tham số dương)
	a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A và B nằm bên phải trục tung.
	b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 4. (2 điểm)
	Cho tam giác nhọn ABC có góc đỉnh A là 450 . Nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bán kính OM vuông góc với BC.
Chứng minh (Với BC = 2R).
Chứng minh M là trực tâm tam giác AEF.
Câu 5. (2 điểm)
	Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC. Hạ các đường cao BE và CF , gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N.
Chứng minh đồng dạng với tam giác .
Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Câu 6. (1 điểm)
	Cho hai số x, y thỏa mãn: .
	Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích xy.
---------------- hết -------------------
Họ và tên thí sinh . Số báo danh..
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (1,5 điểm)
	Cho biểu thức A = (Với )
	a) Rút gọn biểu thức A = 
	 = 
	 = 
	A = = 1 + 
	b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
	A = = 1 + 
	Để A nguyên thì - 3 là Ư(2) = {1; -1; 2; -2}
- 3
1
-1
2
-2
4
2
5
1
x
16
4
25
1
Nhận
Loại
Nhận
Nhận
Vậy x {16; 4; 25}
Câu 2. (2 điểm)
Giải phương trình 
x2 + x + 3 = (x + )2 + > 0 với mọi x
Phương trình đã cho tương đương với PT
 3(x2 + x + 3) - - 24 = 0
 Đặt t = Điều kiện t ≥ 0
	Ta có 3t2 – t – 24 = 0 
Với t = 3 =3 x2 + x – 6 = 0 
Với t = - < 0 (loại)
(1)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -3.
(2)
Giải hệ phương trình Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 0.
Với x ≠ 0; y ≠ 0 (2) x + 2y = xy (*) thay vào (1) ta được:
2xy + xy = 20 xy = 6 x.2y = 12 kết hợp với (*) ta có x + 2y = 8
x và 2y là nghiệm của pt : x2 - 8x + 12 = 0 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (2; 3); (6; 1)
Câu 3. (1,5 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và Parabol 
(P) : y = ax2 (a là tham số dương)
	a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
	ax2 = 2x – a2 ax2 - 2x + a2 = 0
	∆/ = 1 – a3 
	Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là :
 ∆/ = 1 – a3 > 0 a < 1
	Vậy với a > 0 và a < 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
	- Với điều kiện a > 0 và a 0 và x1x2 = a > 0
=> x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều có hoành độ dương nên chúng nằm bên phải trục tung.
	b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B. 
Để có x1 ; x2 thì a ≤ 1 
= 2 + 
minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đó a = 1 và khi đó A và B trùng nhau
Vậy minM = 3 a = 1.
Câu 4. (2 điểm)
A
B
C
O
M
F
E
	Cho tam giác nhọn ABC có góc đỉnh A là 450 . Nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bán kính OM vuông góc với BC.
Chứng minh (Với BC = 2R).
Ta có Â = 450 và ∆AEC vuông tại E nên ∆AEC vuông cân tại E 
=> ACE = 450 => sđEF = 900 => ∆OEF vuông cân tại O
=> 
Chứng minh M là trực tâm tam giác AEF.
ta có: MFB = ½ sđMB = 900 = 450 => AFM = 450 = ACE
=> FM //CE mà CE AB nên FM AB hay FM AE
=> chứng minh tương tự ta có EM AC hay EM AF
=> EM và FM là hai đường cao của tam giác AEF 
cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác AEF
Câu 5. (2 điểm)
A
B
C
K
E
F
H
M
N
O
I
	Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC. Hạ các đường cao BE và CF , gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N.
Chứng minh đồng dạng với tam giác .
C/m được FAH = FHC = CBK = CAK
 AFE = CAN
=> ~ .
Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Ta có ~ => (1)
∆AFH ~ ∆ACK => (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra 
=> MN // HK hay MN // HI
Câu 6. (1 điểm)
	Cho hai số x, y thỏa mãn: .
	Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích xy.
Giải:
NhËn thÊy trong ®¼ng thøc : khi thay x bëi y vµ y bëi x hoÆc thay x b¬Ø - y vµ y bëi - x th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc lu«n lu«n kh«ng thay ®æi ,do ®ã ta cã x2 = y2 => x2 – y2 = 0 thÕ th× ta cã c¸ch biÕn ®æi sau :
ThËt vËy ta cã : 
 với mọi x,y
=> 
=> MIN (xy) = -1 khi xy = -1 vµ x = => x= -1 vµ y = 1 hoÆc x = 1 vµ y = -1
Vµ MAX (xy) = 2014 khi xy = 2014 vµ x = => x=y=
KÕt LuËn : MIN (xy) = -1 khi x = -1 vµ y = 1 hoÆc x = 1 vµ y = -1
 MAX (xy) =2014 khi x=y=
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
 QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014
 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013
 Môn: TOÁN ( Toán chung)
 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (1,5 điểm)
	Cho hai biểu thức : và (với x > 0 và x )
Rút gọn A và B.
Tìm giá trị x để .
Câu 2. (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình (Không dùng máy tính bỏ túi) .
Cho hàm số y = 2x2 có đồ thi (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2 và -1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
Câu 3. (2 điểm)
	Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m – 1)x + 2m – 6 = 0
Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m.
Tìm tất cả các giá trị m để .
Câu 4. (4 điểm)
	Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho . Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C. Hai tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng EK cắt MO , MB lần lượt tại G, H. Gọi I là giao điểm của OM và EB.
Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp.
Tính AE theo R. 
Chứng minh HM2 = HK. HE.
Tính MG theo R.
Câu 5. (1 điểm)
	Cho a, b thỏa mãn điều kiện : ; và a + b = 3. Chứng minh 
---------------- hết -------------------
Họ và tên thí sinh . Số báo danh..