Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên năm học 2007 - 2008 môn: toán (dành cho lớp chuyên toán, tin) thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Sở giáo dục và đào tạo
Hưng Yên
--------------------------
 Đề chính thứC . 
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
năm học 2007 - 2008
Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) 
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 18 tháng 7 năm 2007
----------------------------------------------
Phần I: Trắc nghiệm (3,0 điểm)
	Trong các câu sau đây, hãy chọn phương án đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình 6x2 - 5x + 1 = 0, phương trình bậc hai có các nghiệm x1+ x2 và x1x2 là:
A. 	36t2 – 36t + 5 =0	B. 	t2 – t + 6 =0
C. 	5t2 – 36t + 36 = 0	D. 	36t2 + 36t + 5 =0 
Câu 2. Cho biểu thức P = 2x2 - 2x + . Với x thoả mãn thì tập hợp tất cả các giá trị của biểu thức là:
A. 	R	B.	
C.	D. 	
Câu 3. Với mọi m, phương trình x2-(m-1)x-m2+m-2 = 0
	A. 	có hai nghiệm trái dấu	B. 	có hai nghiệm âm	
	C. 	có hai nghiệm dương	D.	vô nghiệm
Câu 4. Phương trình có nghiệm là
	A.	3 và 	B.	và 
	C. 	1 và 	D.	-1 và 
Câu 5. Phương trình 
	A.	vô nghiệm	B. 	có hai nghiệm phân biệt âm
	C. 	có nghiệm kép	D. 	có hai nghiệm phân biệt dương
Câu 6. Giá trị của biểu thức là:
	A.	B.	2
	C.	 - 2	D.	-2
Câu 7. Có 
	Giá trị của H = là
	A.	H = 4	B.	H = 
	C.	H = 7	D.	H = 1
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx+m2-5.
Đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ khi:
	A. 	m = 	B. 	m = 0
	C.	m = 2	D.	m = ; m = - 
Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó:
	A.	AH2 = BH . BC	B.	AHB đồng dạng với CAB
	C.	AB2 =BH . HC	D.	
Câu 10. Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC<BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; R , R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH, BCH. Khi đó:
	A. 	R > R1 > R2 > R3	B.	R1 < R2 < R3 < R
	C.	R = R1 = R2 = R3	D.	R = R1 + R2 + R3
Câu 11. Cho góc xOy, điểm A trên Ox, điểm B, C trên Oy (A, B, C phân biệt và khác O) thoả mãn OA2 = OB.OC thì:
	A. 	Ox là tiếp tuyến của đường tròn đi qua A, B, C
	B. 	Oy là tiếp tuyến của đường tròn đi qua A, B, C
	C. 	OAB đồng dạng với ABC
	D. 	2.OA = OB + OC
Câu 12. Cho tam giác ABC có đường cao AH, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC và AB. Khi đó:
	A. 	diện tích HEF bằng diện tích ABC 
	B.	HEF đồng dạng với ABC
	C. 	HEF vuông
	D.	Tứ giác ABHE nội tiếp một đường tròn
Phần II: Tự luận (7,0 điểm)
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 - 2mx + m - 1 = 0	(1)
	a. Chứng minh rằng với m > 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. 
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm kia 3 đơn vị.
Bài 2: (2,0 điểm) 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + 2xy + y2 - 3x - 3y + 2007 
	b. Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không phải là tam giác cân (có A = 600) nội tiếp đường tròn tâm O, ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng OH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. 
	a. Chứng minh năm điểm B, H, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
	b. Chứng minh BM + CN = MN.
	c. Gọi D và E lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn I với cạnh AB, BC. AI cắt DE tại G. Chứng minh góc AGC bằng 900.
---------------Hết---------------
Họ tên thí sinh:..
Số báo danh:..Phòng thi số:
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
Sở giáo dục và đào tạo
Hưng Yên
--------------------------
 Đề chính thứC . 
Hướng dẫn chấm thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
năm học 2007 - 2008
Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) 
----------------------------------------------
I. Các chú ý khi chấm thi
	1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
	2) Nếu thí sinh giải đúng với cách giải khác với cách giải trong đáp án thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho bài hay phần đó.
	3) Cặp chấm thảo luận chi tiết thống nhất việc vận dụng HDCT này.
	4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không được làm tròn
Phần I . Trắc nghiệm (3 điểm)
Mỗi câu cho 0,25 điểm
Đáp án
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đ/án
A
B
A
B
A
B
D
D
B
C
A
A
Phần 2. Tự luận (7 điểm).
Bài 1 (2 điểm)
 a) Phương trình (1) là phương trình bậc hai có a = 1; b’ = -m; c = m - 1
 > 0 
 Nên PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (1), áp dụng định lý Vi-ét ta được
 x1x2 = = m-1 > 0 với m>1
 x1x2 = = 2m > 0 với m>1
Do đó (1) luôn có hai nghiệm dương phân biệt với mọi m>1
0,5 đ
0,5 đ
 b) Không mất tính tông quát, giả sử x1 < x2
 Ta có 
 Từ (1) và (3) ta có
 , 
 Thay vào (2) ta được
 .=m-1
 4m2-4m+1=6 (2m-1)2=6
Vậy với thì (1) có 2 nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm kia 3 đơn vị.
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2 (2 điểm)
 a) Ta có A= x2 + 2xy + y2 -3x -3y + 2007
 = (x+y)2 – 3(x+y) + 2007
 = (x+ y - )2 + với mọi x, y
 Mặt khác ta có: 
 A = x + y - = 0
 x + y = 
 Vậy min A = x + y = 
0,5 đ
0,5 đ
 b) Nhận xét: p là số nguyên tố => 4p2 + 1 > 5 , 6p2 + 1> 5 
 Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2 - (p -1)(p + 1)
 y = 6p2 + 1 => 4y = 25p2 - (p -2)(p +2)
 Khi đó:
 - Nếu p chia 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p – 1)(p+1)5
 => x5 mà x > 5 suy ra x không là số nguyên tố.
 - Nếu p chia 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2)5
 => 4y5 mà (4,5) = 1 => y5 mà y > 5 => y không là số nguyên tố.
 Do vậy p5, mà p là số nguyên tố => p =5.
 Thử với p = 5 thì x = 101, y = 151 là các số nguyên tố.
 Đáp số p = 5.
 * Cách khác : Nhận xét: 4a2+ 1> 5 và 6a2 + 1> 5 vì p là một số nguyên tố.
 Gọi r là số dư của phép chia p cho 5 => r {0,1,2,3,4}
 Ta có p = 5k + r với k là số tự nhiên.
 - Lần lượt thay p = 5k + 1, p = 5k + 4 vào 4p2 + 1 thì suy ra 4p2 + 1 chia hết cho 5 => 4p2 + 1 không là số nguyên tố
 - Lần lượt thay p = 5k + 2, p = 5k + 3 vào 4p2 + 1 thì suy ra 6p2 + 1 chia hết cho 5 => 6p2 + 1 không là số nguyên tố. 
 - Do vậy p chia hết cho 5 , mà p nguyên tố nên p =5.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 3: (1,5 điểm)
Gọi BB’ và CC’ là các đường cao của tam giác ABC.
Tam giác ABC nhọn nên H và O nằm trong tam giác ABC => H, O, I cùng một nửa mặt phẳng bờ BC (1)
0,25 đ
- Tứ giác AB’HC’ nội tiếp => C’HB’ = 1800 – C’AB’ = 1200 
=> BHC = 1200 (2)
0,25 đ
BOC = 2BAC = 1200 (3)
 BIC = 1800 - IBC - ICB = 1800 - ( ABC + ACB) = 1200 (4)
0,25 đ
Từ (2), (3) , (4) => BHC = BIC = BOC = 1200 (6)
Từ (1) và (6) => năm điểm B,C,O,H,I cùng thuộc một đường tròn.
0,25 đ
b) Từ BHOC nội tiếp => OHC = OBC = 
Tam giác ACC’ có C’ = 900 => OHC = 900 - CAC’ = 300 .
Do vậy NHC = NCH => tam giác NHC cân tại N => NC = NH 
 Tương tự MB = MH . Từ đó có BM + CN = MN 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
c) 
Trường hợp 1: G nằm ngoài DE ( hình 1) 
 Ta có GEC = BED (đ.đ) 
Tam giác BDE cân tại B => BED = (7)
Tam giác AIC có AIC = 1800 -IAC -ICA = 1800 -(BAC +BCA) 
 = 1800 - mà CIG = 180 - AIC = 
 nên CIG =CEG => tứ giác IEGC nội tiếp được. => IGC = IEC = 900 hay AGC = 900.
Trường hợp 2: G thuộc đoạn DE
Chứng minh tương tự ta có CIG = và GEB = 
 => tứ giác IGEC nội tiếp được => IGC = IEC = 900
(Lưu ý: Nếu chứng minh đúng 1 trường hợp hình cho 0,75đ)
1,0đ