Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1991 môn thi: Toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
--------------------------------------------- ------------------------------------------------------------- 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1991 
MÔN THI: TOÁN 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
Ngày thi:  –  – 1991 Đề thi gồm: 01 trang 
Câu 1: (2 điểm) Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ giải phương trình sau: 
2
2
5 34
5
x x x
x x x
+ − −+ = + − 
Câu 2: (2 điểm) Cho biểu thức: 
2
1 1
1. 111 :1 1 ( 1) 1 ( 1)
1 1
m
m mmC
m m m m
m m
− + − −−= −
1− + − + −−+ −
 với m > 1 
1) Kí hiệu 1 , 1m a m− = + = b . Viết biểu thức C theo a, b. 
2) Rút gọn biểu thức C, từ đó chứng minh C > 0. 
Câu 3: (2 điểm) 
a. Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: y = x2 – 1 (1) 
và y = -x2 – 2x + 3 (2). 
b. Chứng minh các giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và (2) thuộc đồ thị 
của hàm số: 
( ) 21 1 2 3
1
y k x kx
k
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦+ 1k − với 1k ≠ ± 
Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngoài đường 
tròn. Từ một điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các 
tiếp tuyến MI, MJ với đường tròn (O). Dây IJ cắt OM tại N và cắt OA tại B. 
1. Chứng minh OA.OB = OM.ON = R2. 
2. Gọi C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MIJ. Chứng minh C thuộc nửa 
đường tròn cố định. 
3. Cho góc MIJ = α . Chứng minh diện tích tứ giác MOIJ bằng R2.tanα . 
Câu 5: (1 điểm) Cho ba số nguyên dương a, b, c khác nhau và xếp theo thứ tự tăng 
dần. Biết rằng tổng các nghịch đảo của chúng là một số nguyên k. Tìm k, a, b, c.