Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 1992 môn thi: Toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
--------------------------------------------- -------------------------------------------------------------
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1992 
MÔN THI: TOÁN 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Ngày thi: 02 – 08 – 1992 Đề thi gồm: 01 trang 
Câu 1: Tìm các số nguyên a, b để 1x = + 3 là một nghiệm của phương trình: 
3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 
Câu 2: 
Hai đội học sinh tham gia lao động. Nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc trong 4 
giờ. Nếu mỗi đội làm một mình thì đội này có thể làm xong việc nhanh hơn đội kia 6 
giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. 
Câu 3: Cho k và n là hai số tự nhiên, . Chứng minh: 2, 2k n≥ ≥
a. 2
1 1
1k k
< −−
1
k . 
b. 2 2
1 11 ... 2
2 n n
+ + + < − 1 . 
Câu 4: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A nằm ngoài (O). Vẽ đường 
thẳng d vuông góc với OA tại A. Từ M thuộc d vẽ hai tiếp tuyến MP và MP’ với 
đường tròn (O). Dây PP’ cắt OM tại N, cắt OA tại B. 
1. Chứng minh OA.OB = OM.ON = R2. 
2. Tìm tập hợp điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MPP’ khi M di 
động trên đường thẳng d. 
3. Giả sử tam giác MPP’ cố định và góc MPP’ = 2α . Tính diện tích tứ giác 
MPOP’ theo R và α . 
Câu 5: 
Hai đường chéo của một tứ giác ABCD chia tứ giác làm 4 tam giác nhỏ có diện tích là 
4 số tự nhiên. Chứng minh tích của các số tự nhiên ấy là bình phương của một số tự 
nhiên.