Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ từ năm 2001 đến 2006 môn thi: Toán

Chu Van An Student & Alumni Association 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 trường PTCN năm 2001 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi: 01-07-2001 
Bài 1: (2 điểm) 
 Cho biểu thức: 
P=
3 9 3 1 1 1
2 :
12 1 2
x x
xx x x x
  
         
a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P. 
b/ Tìm các số tự nhiên để 
1
P
 là số tự nhiên? 
c/ Tính giá trị của P với x = 4 - 2 3 . 
Bài 2: (2,5 điểm) 
 Cho phương trình: 2 2 1 2x x x a     , với a là tham số. 
a/ Giải phương trình khi a=2. 
b/ Với giá trị nào của a, phương trình đã cho vô nghiệm? 
Bài 3: (4 điểm) 
 Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, đường kính BC của 
(O;R) quay quanh O sao cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I. 
 1/ Tính độ dài đoạn OI. 
Chu Van An Student & Alumni Association 
 2/ Khi đường thẳng AB, AC lại cắt (O;R) lần lượt tại D,E với D  B, C E. Nối 
DE cắt đường thẳng OA tại K. 
 a/ Chứng minh rằng: AK.AI = AE.AC 
 b/ Tính độ dài AK theo R. 
 c/ Chứng tỏ rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một 
điểm cố định F (F khác A) khi BC quay quanh O. 
Bài 4: (1,5 điểm) 
Cho x>0, hãy tìm x để hàm số f(x)= 
 22001
x
x 
 , đạt giá trị lớn nhất và tính 
giá trị lớn nhất đó của f(x). 
 ____________________________ 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 PTCNN năm 2002 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi: 30-06-2002 
Bài 1: (2,0 điểm) 
1. Chứng minh rằng       3 3 3 3 3x y z x y z x y y z z x         
2. Chứng minh rằng: Với , ,a b c Z thì 
       3 3 3 3P a b c a b c b c a c a b            
chia hết cho 24. 
Chu Van An Student & Alumni Association 
Bài 2: (2,0 điểm) 
 Giải phương trình: 
     24 5 6 10 12 3x x x x x     
Bài 3: (2,0 điểm) 
 Chứng minh rằng: 
 1. 2 2 2a b c ab bc ca     với mọi a,b,c 
 2.  4 4 4x y z xyz x y z     với mọi x,y,z 
Bài 4: (3,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BP, 
CK cắt nhau tại H. 
1. Chứng minh góc HAB bằng góc OAC. 
2. Gọi E,M tương ứng là trung điểm của AH và BC. Chứng minh rằng tứ giác 
KEPM là tứ giác nội tiếp được. 
3. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với KP. Chứng minh rằng đường 
thẳng Ax luôn đi qua một điểm cố định khi ba đỉnh A,B,C của tam giác 
thay đổi trên đường tròn (O). 
Bài 5: (0,5 điểm) 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
6 3 22 2 64x x y y   
 ______________________ 
Chu Van An Student & Alumni Association 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 PTCNN năm 2003 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi: 17-06-2003 
Câu 1: (2,5 điểm) 
 Cho biểu thức A= 
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
 
   
 1/ Tìm x để A có nghĩa. Rút gọn A. 
 2/ Tính A với 33 8 2x   
 3/ Chứng minh rằng 
1
3
A  
Câu 2: (2 điểm) 
 1/ Phân tích biểu thức 2 22 2x x xy y y    thành nhân tử 
 2/ Giải hệ phương trình:
2 2- - 2 - 2
2 2 1
x x xy y y
x
 

  
Câu 3: (1,5 điểm) 
 Cho hàm số y = f(x) = 
  2 2
2
2 6 1 2 5
3 4
x x x
x x
   
 
 1/ Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) 
 2/ Chứng minh 3y  . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ? 
Chu Van An Student & Alumni Association 
Câu 4 : (3 điểm) 
 Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB ; điểm 
C bất kì nằm giữa A và B thuộc dây AB. Tia MC cắt đường tròn (O) tại D. 
 1/ Chứng minh MA2 = MC.MD 
 2/ Kẻ Bt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh BM và 
Bt thuộc cùng một đường thẳng. 
 3/ Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ; O2 là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng khi C chuyển động trên AB thì tổng các 
bán kính của hai đường tròn (O1) và (O2) không đổi. 
Câu 5 : (1 điểm) 
 Cho phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = m. Biết phương trình đã cho có 4 
nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4. Chứng minh x1.x2.x3.x4 = 24-m 
 _____________________ 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2004 
Môn thi : Toán 
Thời gian : 150 phút 
Ngày thi: 13-06-2004 
Bài 1: (2,0 điểm) 
 Cho biểu thức 
 M= 
2 1
11 2 1 2 1
x x x x x x x x
xx x x x x
    
       
Chu Van An Student & Alumni Association 
a. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. 
b. Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ 
nhất đó. 
Bài 2: (2,0 điểm) 
a. Giải phương trình 
  2 23 2 7 12 24x x x x     
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 22 5 4 2P x y xy x     
Bài 3: (2,0 điểm) 
 Giải hệ phương trình 
2
2 2
6 3 1
1
x xy x y
x y
    

 
Bài 4: (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung 
lớn BC của đường tròn (O), (A khác B,C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn 
(O) tại điểm D khác điểm C. Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường 
thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác điểm B. 
a. Chứng minh tam giác KAC cân. 
b. Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua 1 điểm J cố định, từ đó hãy xác định 
vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất. 
c. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M 
khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O). 
Chu Van An Student & Alumni Association 
Bài 5: (1,0 điểm) 
Hãy tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn: 
2 25 2 4 3 0x y y xy     
 _________________________ 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên ngoại ngữ năm 2005 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi: 12-06-2005 
Câu 1: (2,0 điểm) 
1. Rút gọn biểu thức: 
1 1 1
...
2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005
A    
  
2. Cho đẳng thức: 
           2 2 2 2 2 22 2 2x y y z z x x y z y z x x z y              
Chứng minh rằng: x=y=z 
Câu 2 : (3,0 điểm) 
1. Giải phương trình : 
  2 2 23 3 2 3 2x x x x x     
2. Cho phương trình : 
Chu Van An Student & Alumni Association 
 2 5 6 0x m x m     (1), với m là tham số. 
Tìm m để giữa 2 nghiệm 1x ; 2x của phương trình (1) có hệ thức : 
 1 22 3 13x x  
Câu 3 : (1,0 điểm) 
 Cho phương trình : 
   2 2 21 2 1 0m x m x m     (1), với m là tham số. 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : 2 21 2A x x  
với 1x ; 2x là nghiệm của phương trình (1). 
Câu 4 : (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), có các đường phân giác trong 
cắt nhau tại I. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn (O) tương ứng tại các 
điểm M, N, P. 
1. Chứng minh tam giác NIC cân tại N. 
2. Chứng minh điểm I là trực tâm tam giác MNP. 
3. Gọi E là giao điểm của MN và AC, F là giao điểm của PM và AB. Chứng minh 
rằng 3 điểm E, I, F thẳng hàng. 
4. Gọi K là trung điểm của BC và giả sử BI vuông góc với IK, BI=2IK. Hãy tính 
góc A của tam giác ABC. 
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Giải phương trình: 3 25 6 12 8 0x x x    
Chu Van An Student & Alumni Association 
 _____________________ 
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên ngoại ngữ năm 2006 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút 
Ngày thi: 11-06-2006 
Câu 1: (2,0 điểm) 
 Cho biểu thức: 
1 2
1 : 1
1 1 1
x x
P
x x x x x x
   
                
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P. 
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q P x  nhận giá trị nguyên. 
Câu 2: (2,0 điểm) 
a. Giải phương trình: 
4 3 24 2 4 1 0x x x x     
b. Giải hệ phương trình: 
2 2
2
3 2 0
2 3 5 0
x xy y
x xy
   

  
Câu 3: (2,0 điểm) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình 
2
2
x
y

 . Gọi 
(d) là đường thẳng qua điểm I(0;-2) và có hệ số góc k. 
Chu Van An Student & Alumni Association 
a. Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn 
cắt parabol tại 2 điểm phân biệt A và B khi k thay đổi. 
b. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. 
Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I. 
Câu 4: (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn tâm O, bán kính R và AB là đường kính cố định của đường 
tròn (O). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. MN là đường kính 
thay đổi của đường tròn (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M khác A, N 
khác B. Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d tương ứng tại C và D. Gọi I 
là trung điểm của đoạn thẳng CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, 
chứng minh rằng: 
a. Tích AM.AC không đổi. 
b. Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn. 
c. Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định. 
d. Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng 
cố định. 
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x+y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: 
2 2
1 1
A
x y xy
 

 ____________________