Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYấN
 QUẢNG NAM Năm học: 2013 - 2014
 Khúa ngày 06 thỏng 6 năm 2013
 Mụn: TOÁN (Chuyờn Toỏn)
 Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng tớnh thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Cõu 1: (1,5 điểm)
	Cho biểu thức A (Với )
	a) Rỳt gọn biểu thức A.
	b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A nguyờn.
Cõu 2: (2 điểm)
Giải phương trỡnh .
Giải hệ phương trỡnh 
Cõu 3: (1,5 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và Parabol (P): 
 y = ax2 (a là tham số dương)
	a) Tỡm giỏ trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B. Chứng tỏ khi đú A và B nằm bờn phải trục tung.
	b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
Cõu 4: (2 điểm)
	Cho tam giỏc nhọn ABC cú gúc đỉnh A là 450 . Nửa đường trũn tõm O đường kớnh BC cắt cỏc cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bỏn kớnh OM vuụng gúc với BC.
Chứng minh (Với BC = 2R).
Chứng minh M là trực tõm tam giỏc AEF.
Cõu 5: (2 điểm)
	Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), cú AB < AC. Hạ cỏc đường cao BE và CF , gọi H là trực tõm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kớnh AK cắt cạnh BC tại N.
Chứng minh đồng dạng với tam giỏc .
Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Cõu 6: (1 điểm)
	Cho hai số x, y thỏa món: .
	Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của tớch xy.
---------------- Hết -------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Cõu 1: (1,5 điểm)
	Cho biểu thức A = (Với )
	a) Rỳt gọn biểu thức A = 
	 = 
	 = 
	A = = 1 + 
	b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A nguyờn.
	A = = 1 + 
	Để A nguyờn thỡ - 3 là Ư(2) = {1; -1; 2; -2}
- 3
1
-1
2
-2
4
2
5
1
x
16
4
25
1
Nhận
Loại
Nhận
Nhận
Vậy x {16; 4; 25}
Cõu 2: (2 điểm)
Giải phương trỡnh 
x2 + x + 3 = (x + )2 + > 0 với mọi x
Phương trỡnh đó cho tương đương với PT
 3(x2 + x + 3) - - 24 = 0
 Đặt t = Điều kiện t ≥ 0
	Ta cú 3t2 – t – 24 = 0 
Với t = 3 =3 x2 + x – 6 = 0 
Với t = - < 0 (loại)
(1)
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 = 2; x2 = -3.
(2)
Giải hệ phương trỡnh Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 0.
Với x ≠ 0; y ≠ 0 (2) x + 2y = xy (*) thay vào (1) ta được:
2xy + xy = 20 xy = 6 x.2y = 12 kết hợp với (*) ta cú x + 2y = 8
x và 2y là nghiệm của pt : x2 - 8x + 12 = 0 
Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm (x; y) = (2; 3); (6; 1)
Cõu 3: (1,5 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = 0 và Parabol (P): 
 y = ax2 (a là tham số dương)
	a) Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
	ax2 = 2x – a2 ax2 - 2x + a2 = 0
	∆/ = 1 – a3 
	Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt điều kiện cần và đủ là :
 ∆/ = 1 – a3 > 0 a < 1
	Vậy với a > 0 và a < 1 thỡ (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt.
	- Với điều kiện a > 0 và a 0 và x1x2 = a > 0
=> x1 > 0 và x2 > 0 => hai điểm A và B đều cú hoành độ dương nờn chỳng nằm bờn phải trục tung.
	b) Gọi x1 ; x2 lần lượt là hoành độ của A và B. 
Để cú x1 ; x2 thỡ a ≤ 1 
= 2 + 
minM = 3 khi và chỉ khi a lớn nhất khi đú a = 1 và khi đú A và B trựng nhau
Vậy minM = 3 a = 1.
Cõu 4: (2 điểm)
A
B
C
O
M
F
E
	Cho tam giỏc nhọn ABC cú gúc đỉnh A là 450 . Nửa đường trũn tõm O đường kớnh BC cắt cỏc cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bỏn kớnh OM vuụng gúc với BC.
Chứng minh (Với BC = 2R).
Ta cú Â = 450 và ∆AEC vuụng tại E nờn ∆AEC vuụng cõn tại E 
=> ACE = 450 => sđEF = 900 => ∆OEF vuụng cõn tại O
=> 
Chứng minh M là trực tõm tam giỏc AEF.
ta cú: MFB = ẵ sđMB = 900 = 450 => AFM = 450 = ACE
=> FM //CE mà CE AB nờn FM AB hay FM AE
=> chứng minh tương tự ta cú EM AC hay EM AF
=> EM và FM là hai đường cao của tam giỏc AEF 
cắt nhau tại M nờn M là trực tõm của tam giỏc AEF
Cõu 5: (2 điểm)
A
B
C
K
E
F
H
M
N
O
I
	Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), cú AB < AC. Hạ cỏc đường cao BE và CF , gọi H là trực tõm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kớnh AK cắt cạnh BC tại N.
Chứng minh đồng dạng với tam giỏc .
C/m được FAH = FHC = CBK = CAK
 AFE = CAN
=> ~ .
Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC.
Ta cú ~ => (1)
∆AFH ~ ∆ACK => (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra 
=> MN // HK hay MN // HI
Cõu 6: (1 điểm)
	Cho hai số x, y thỏa món: .
	Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của tớch xy.
Giải:
Nhận thấy trong đẳng thức: khi thay x bởi y và y bởi x hoặc thay x bơỉ - y và y bởi - x thì giá trị của biểu thức luôn luôn không thay đổi, do đó:
 x2 = y2 => x2 - y2 = 0 thế thì ta có cách biến đổi sau:
Ta có: 
 với mọi x,y
=> 
=> MIN (xy) = -1 khi xy = -1 và x = => x= -1 và y = 1 hoặc x = 1 và y = -1
Và MAX (xy) = 2014 khi xy = 2014 và x = => x=y=
Kết Luận : MIN (xy) = -1 khi x = -1 và y = 1 hoặc x = 1 và y = -1
 MAX (xy) =2014 khi x=y=
-----------------------------------------------