Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT - Môn Toán học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 QUẢNG NAM	 NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi TOÁN ( chung cho tất cả các thí sinh)
 Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2.0 điểm )
	1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa 
	a) 	b)	
	2. Trục căn thức ở mẫu
	a) 	b)	
	3. Giải hệ phương trình : 	
Bài 2 (3.0 điểm )
	Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3 (1.0 điểm )
	Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) .Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 (4.0 điểm )
	Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H.
Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).
Cho góc BCD bằng α . Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
Họ và tên : ...........................................................................................Số báo danh......................................
======Hết======
Hướng dẫn: 
Bài 1 (2.0 điểm )
1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa 
a) 	b)	
2. Trục căn thức ở mẫu
	a) 	b)	
3. Giải hệ phương trình : 
Bài 2 (3.0 điểm )
	Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
 Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng : 
x
0
- 2
x
- 2
- 1
0
1
2
y = x + 2
2
0
y = x2 
4
1
0
1
4
O
y
x
A
B
C
K
H
Tìm toạ độ giao điểm A,B :
 Gọi tọa độ các giao điểm A( x1  ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (d)
Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)
 x2 = x + 2 ó x2 – x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0 
 	; 	
 thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = 1 ;
 x2 = 2 y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1  ; 1 ) , B( 2 ; 4 ) 
Tính diện tích tam giác OAB
Cách 1 : SOAB = SCBH - SOAC =(OC.BH - OC.AK)= ... =(8 - 2)= 3đvdt
Cách 2 : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuông góc 
OA ; BC = ;
AB = BC – AC = BC – OA = 
 (ΔOAC cân do AK là đường cao đồng thời trung tuyến OA=AC)
SOAB = OA.AB = đvdt
Hoặc dùng công thức để tính AB = ;OA=...
Bài 3 (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
	Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 
 ( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + 3 ) 
Δ’ = ...= m2 - 1. ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 m ≥ 3 theo viét ta có:
x1 + x2 = ... = 2m
x1 . x2 = ... = m2 - m + 3 
x12 + x22 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 )
 =2(m2 + 2m + - - ) =2[(m +)2 - ]=2(m +)2 - 
Do điều kiện m ≥ 3 m + ≥ 3+= 
(m +)2 ≥ 2(m +)2 ≥ 2(m +)2 - ≥ - = 18
Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3
Bài 4 (4.0 điểm )
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
* Tam giác CBD cân 
AC BD tại K BK=KD=BD:2(đường kính vuông góc dây cung) ,ΔCBD có đường cao CK vừa là đường trung tuyến nên ΔCBD cân.
* Tứ giác CEHK nội tiếp
 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; (gt)
(tổng hai góc đối) tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Xét ΔADH và ΔAED có : 
 ; AC BD tại K ,AC cắt cung BD tại A suy ra A là điểm chính giữa cung BAD , hay cung AB bằng cung AD (chắn hai cung bằng nhau) .Vậy ΔADH = ΔAED (g-g) 
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm 
* ΔBKC vuông tại A có : KC = =16
* ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ΔABC vuông tại K có : BC2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25R= 12,5cm
C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
A
O
B
M
C
E
D
M’
K
H
B”
D”
d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
Giải: ΔMBC cân tại M có MB = MC suy ra M cách đều hai đầu đoạn thẳng BC M d là đường trung trực BC ,(OB=OC nên O d ),vì M(O) nên giả sử d cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC ).
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khác phía BC hay AC 
do ΔBCD cân tại C nên 
Tứ giác MBDC nội tiếp thì 
* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC 
ΔMBC cân tại M có MM’ là đường trung trực nên MM’ là phân giác góc BMC
 sđ
(góc nội tiếp và cung bị chắn)
sđ (góc nội tiếp và cung bị chắn)
 + Xét suy ra tồn tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đã tính ở trên )và M’ thuộc cung lớn BC .
Tứ giác BDM’C nội tiếp thì (cùng chắn cung BC nhỏ)
 + Xét thì M’≡ D không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ ( chỉ có điểm M tmđk đề bài)
 + Xét (khi BD qua tâm O và BDAC)M’ thuộc cung không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ (chỉ có điểm M tmđk đề).
Sôû GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO KÌ THI TUYEÅN SINH LÔÙP 10 NAÊM HOÏC 20092010	
	 KHAÙNH HOAØ MOÂN: TOAÙN
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC
	NGAØY THI: 19/6/2009
	Thôøi gian laøm baøi: 120 phuùt (Khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà)
Baøi 1: (2 ñieåm) (khoâng duøng maùy tính boû tuùi)
	a) Cho bieát A= vaø B= . Haõy so saùnh A+B vaø AB.
	2x +y = 1
b) Giaûi heä phöông trình: 	 
3x – 2 y= 12
Baøi 2: (2.5 ñieåm)
	Cho Parabol (P) : y= x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y=mx-2 (m laø tham soá m 0)
	a/ Veõ ñoà thò (P) treân maët phaúng toaï ñoä Oxy.
	b/ Khi m = 3, haõy tìm toaï ñoä giao ñieåm (p) ( d)
	c/ Goïi A(xA;yA), B(xA;yB) laø hai giao ñieåm phaân bieät cuûa (P) vaø ( d). 
 Tìm caùc gia trò cuûa m sao cho : 	yA + yB = 2(xA + xB )-1.
Baøi 3: (1.5 ñieåm)
Cho moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieåu dai hôn chieàu roäng 6 m vaø bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi vaø roäng cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät.
Baøi 4: ( 4 ñieåm).
Cho ñöôøng troøn(O; R) töø moät ñieåm M ngoaøi ñöôøng troøn (O; R). veõ hai tieáp tuyeán A, B. laáy C baát kì treân cung nhoû AB. Goïi D, E, F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa C teân AB, AM, BM.
	a/ cm AECD Noäi tieáp moät ñöôøng troøn .
	b/ cm: 
	c/ cm : Goïi I laø trung ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB , DF. 
 Cm IK// AB.
d/ Xaùc ñònh vò trí c treân cung nhoû AB deå (AC2 + CB2 )nhoû nhaát. tính giaù trò nhoû nhaát ñoù khi OM =2R
---Hết---
 Đáp án câu 4c,d: Đề thi 2009 – 2010 :
4c)Chứng minh rằng : IK//AB 
	Gợi ý: Chứng minh tổng số đo hai góc ICK và IDK bằng 1800 .
4d)Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để CA2 + CB2 đạt GTNN. 
Gợi ý : Xây dựng công thức đường trung tuyến của tam giác.
Gọi N là trung điểm của AB.
Ta có: 
AC2 + CB2 = 2CD2 + AD2 + DB2 =2(CN2 – ND2) + (AN+ND)2 + (AN – ND)2
 = 2CN2 – 2ND2 + AN2 + 2AN.ND + ND2 + AN2 – 2AN.ND + ND2.
 = 2CN2 + 2AN2
 = 2CN2 + AB2/2
AB2/2 ko đổi nên CA2 + CB2 đạt GTNN khi CN đạt GTNN ó C là giao điểm của ON và cung nhỏ AB.
=> C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.
Khi OM = 2R thì OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R
Do đó: Min (CA2 + CB2 ) = 2R2 .
Së gd vµ ®t
 thanh ho¸
Kú thi tuyÓn sinh thpt chuyªn lam s¬n
n¨m häc: 2009 - 2010
§Ò chÝnh thøc
M«n: To¸n (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo líp chuyªn To¸n) 
 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
 Ngµy thi: 19 th¸ng 6 n¨m 2009
C©u 1: (2,0 ®iÓm)
 1. Cho sè x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x2 + = 7
 TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: A = x3 + vµ B = x5 + 
 2. Giải hệ phương trình: 
C©u 2: (2,0 ®iÓm) Cho ph­¬ng tr×nh: () cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
C©u 3: (2,0 ®iÓm)
 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + + = 
2. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p ®Ó 4p2 +1 vµ 6p2 +1 còng lµ sè nguyªn tè.
C©u 4: (3,0 ®iÓm) 
 1. Cho h×nh vu«ng cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i . Mét ®­êng th¼ng qua , c¾t c¹nh t¹i vµ c¾t ®­êng th¼ng t¹i . Gäi lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng th¼ng vµ . Chøng minh r»ng: . 
 2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA=.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: .
C©u 5: (1,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc ,trong ®ã .
 Chøng minh r»ng: .
...HÕt ...
 Së gi¸o dôc vµ ®µo Kú thi tuyÓn vµo líp 10 chuyªn lam s¬n 
 Thanh Ho¸	 n¨m häc 2009-2010 
	§¸p ¸n ®Ò thi chÝnh thøc
 M«n: To¸n ( Dµnh cho thÝ sinh thi vµo líp chuyªn To¸n) 
 Ngµy thi: 19 th¸ng 6 n¨m 2009
 (§¸p ¸n nµy gåm 04 trang)
C©u
ý
Néi dung
§iÓm
1
1
Tõ gi¶ thiÕt suy ra: (x +)2 = 9 Þ x + = 3 (do x > 0)
Þ 21 = (x +)(x2 + ) = (x3 +) + (x +) Þ A = x3 +=18
Þ 7.18 = (x2 + )(x3 +) = (x5 +) + (x +)
Þ B = x5+= 7.18 - 3 = 123
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Từ hệ suy ra (2)
Nếu thì nên (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y
thế vào hệ ta giải được x=1, y=1
0.5
0.5
2
Theo ViÐt, ta cã: , .
Khi ®ã = ( V× a 0)
 =
V× nªn vµ 
Do ®ã 
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi hoÆc 
Tøc lµ VËy max=3
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3
1
§K: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi:
x + y + z = 2 +2 +2
Û (- 1)2 + (- 1)2 + (- 1)2 = 0
 - 1 = 0 x = 3
 - 1 = 0 Û y = - 2008
 - 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25
0.25
0.25
2
NhËn xÐt: p lµ sè nguyªn tè Þ 4p2 + 1 > 5 vµ 6p2 + 1 > 5
§Æt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)
 y = 6p2 + 1 Þ 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)
Khi ®ã:
- NÕu p chia cho 5 d­ 4 hoÆc d­ 1 th× (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho 5
Þ x chia hÕt cho 5 mµ x > 5 Þ x kh«ng lµ sè nguyªn tè
- NÕu p chia cho 5 d­ 3 hoÆc d­ 2 th× (p - 2)(p + 2) chia hÕt cho 5
Þ 4y chia hÕt cho 5 mµ UCLN(4, 5) = 1 Þ y chia hÕt cho 5 mµ 
y > 5 
Þ y kh«ng lµ sè nguyªn tè
VËy p chia hÕt cho 5, mµ p lµ sè nguyªn tè Þ p = 5
Thö víi p =5 th× x =101, y =151 lµ c¸c sè nguyªn tè
§¸p sè: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
4
1.
2.
5.
D
C
N
A
B
I
K
M
E
Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm I sao cho IB = CM 
Ta cã IBE = MCE (c.g.c).
Suy ra EI = EM , MEI vu«ng c©n t¹i E
Suy ra 
MÆt kh¸c: IM // BN
 tø gi¸c BECK néi tiÕp 
 L¹i cã: . VËy 
O
C
B
D
E
M
A
xx
y
Vì AO = , OB=OC=1 và ÐABO=ÐACO=900 suy ra OBAC là hình vuông
 Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho ÐDOM = ÐDOB ÞÐMOE=ÐCOE
 Suy ra MOD= BOD Þ ÐDME=900
 MOE= COE ÞÐEMO=900
 suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).
Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC
 Ta có DE<AE+AD Þ2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1
 Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2 
Û (1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2
Û 1- (x+y) = xy suy ra DE2 + 4.DE - 4
 Û DE
 Vậy DE<1
Ta cã: 
V× nªn 
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè kh«ng ©m cã: 
 (theo (1))
Râ rµng v×: 
§Æt ,ta cã: 
VËy 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh THPT chuyªn lam s¬n 
 thanh ho¸ n¨m häc: 2009 – 2010
 §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n ( Dµnh cho thÝ sinh thi vµo líp chuyªn tin)
 Thêi gian lµm bµi : 150 phót( Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
 Ngµy thi:19 th¸ng 6 n¨m 2009
C©u 1( 2,0 ®iÓm)
	Cho biÓu thøc: 
T×m ®iÒu kiÖn cña ®Ó x¸c ®Þnh. Rót gän 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña .
C©u 2 ( 2,0 ®iÓm)
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
C©u 3 (2,0 ®iÓm)
	1. T×m c¸c sè nguyªn a ®Ó ph­¬ng tr×nh: x2- (3+2a)x + 40 - a = 0 cã nghiÖm nguyªn. H·y t×m c¸c nghiÖm nguyªn ®ã.
2. Cho lµ c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 
Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
C©u 4 (3,0 ®iÓm)
	Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, néi tiÕp trong ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AD. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, E lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A.
	1. Chøng minh r»ng tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh.
	2. Gäi P vµ Q lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña E qua c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC. Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P, H, Q th¼ng hµng.
	3. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm E ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt.
C©u 5 ( 1,0 ®iÓm) 
	Gäi lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã ba gãc nhän. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc ta lu«n cã: 
 ------HÕt-----
Hä vµ tªn thÝ sinh:..................... Sè b¸o danh:......................
Hä tªn vµ ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1 Hä tªn vµ ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2
 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn vµo líp 10 chuyªn lam s¬n 
 Thanh Ho¸	 n¨m häc 2009-2010 
	 §¸p ¸n ®Ò thi chÝnh thøc
 M«n: To¸n ( Dµnh cho häc sinh thi vµo líp chuyªn Tin) 
C©u
ý
Néi dung
§iÓm
1
2,0
1
§iÒu kiÖn: 
0,25
0,75
2
lín nhÊt khi nhá nhÊt, ®iÒu nµy xÈy ra khi 
VËy lín nhÊt b»ng 2
0,5
0,5
2
1
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 2x2 – xy = 1 (1)
 4x2 +4xy – y2 = 7 (2)
NhËn thÊy x = 0 kh«ng tho¶ m·n hÖ nªn tõ (1) Þ y = (*)
ThÕ vµo (2) ®­îc: 4x2 + 4x. - = 7
Û 8x4 – 7x2 - 1 = 0
§Æt t = x2 víi t ≥ 0 ta ®­îc 8t2 - 7t - 1 = 0
 Û t = 1
 t = - (lo¹i)
víi t =1 ta cã x2 = 1 Û x = ± 1 thay vµo (*) tÝnh ®­îc y = ± 1
HÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm: x = 1 vµ x = -1 
 y = 1 y = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
2
§K: 
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi:
	0,25	0,25
	0,250,25	0,25
0,25
	0,2
0,25
	0,2
3
1
PT ®· cho cã biÖt sè D = 4a2 + 16a -151
PT cã nghiÖm nguyªn th× D = n2 víi n Î N
Hay 4a2 + 16a - 151 = n2 Û (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167
Û (2a + 4)2 - n2 = 167 Û (2a + 4 + n)(2a + 4 - n) = 167
V× 167 lµ sè nguyªn tè vµ 2a + 4 + n > 2a + 4 - n nªn ph¶i cã:
 2a + 4 + n = 167
 2a + 4 - n = 1 4a + 8 = 168 a = 40 
 2a + 4 + n = -1 Þ 4a + 8 = -168 Þ a = -44 
 2a + 4 - n = -167
víi a = 40 ®ù¬c PT: x2 - 83x = 0 cã 2 nghiÖm nguyªn x = 0, x = 83
víi a = - 44 th× PT cã 2 nghiÖm nguyªn lµ x= -1, x = - 84
0,25
0,25
0,25
0,25
2
 Ta cã: 
 Suy ra 
Tõ gi¶ thiÕt , ta cã tæng 
=.
Do ®ã Ýt nhÊt mét trong hai sè kh«ng ©m
MÆt kh¸c, theo gi¶ thiÕt ta cã . Tõ ®ã suy ra Ýt nhÊt mét trong hai sè kh«ng ©m, suy ra Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ( ®pcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
4
5
1
2
3
V× H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn BHAC (1)
MÆt kh¸c AD lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn t©m O nªn DCAC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra BH // DC.
Hoµn toµn t­¬ng tù, suy ra BD // HC.
Suy ra tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh ( V× cã 2 cÆp c¹nh ®èi song song).
Theo gi¶ thiÕt, ta cã: P ®èi xøng víi E qua AB suy ra AP=AE 
 ( c.g. c ) 
 L¹i cã ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) 
MÆt kh¸c tø gi¸c APHB lµ tø gi¸c néi tiÕp ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)
Mµ 
Hoµn toµn t­¬ng tù, ta cã: .Do ®ã:
Suy ra ba ®iÓm P, H, Q th¼ng hµng
V× P, Q lÇn l­ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña E qua AB vµ AC nªn ta cã 
AP = AE = AQ suy ra tam gi¸c APQ lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A
MÆt kh¸c, còng do tÝnh ®èi xøng ta cã ( kh«ng ®æi)
Do ®ã c¹nh ®¸y PQ cña tam gi¸c c©n APQ lín nhÊt khi vµ chØ khi AP, AQ lín nhÊt AE lín nhÊt. 
§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi AE lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC E D
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
A
B
C
H
a
c
b
V× ta cã:
(*)
Gi¶ sö th× . Víi c¹nh lín nhÊt 
nhän (gt) do vËy kÎ ®­êng cao BH ta cã tõ ®ã suy ra biÓu thøc (*) lµ kh«ng ©m suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh
	0,25	0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25