Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên năm học 2006 - 2007

sở giáo dục - đào tạo
Bắc giang
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh lớp 10
trường THPT chuyên 
Năm học 2006-2007
Môn thi: Toán (đề chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho phương trỡnh (m+1)x2 + (2m + 1)x + m - 1 = 0 , m là tham số.
Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú nghiệm.
Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 và x2 thỏa món .
Bài 2 (2,0 điểm)
Rỳt gọn biểu thức .
Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn a và b sao cho là nghiệm của phương trỡnh x2 + ax + b = 0.
Bài 3 (1,5 điểm)
	Tỡm tất cả cỏc số thực dương x và y thoả mãn: .
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (AB = AC). Điểm M nằm trờn cạnh BC ( M khác B và C ). Đường trũn ( I ) đi qua M và tiếp xỳc với đường thẳng AB tại B, đường trũn ( J ) đi qua M và tiếp xỳc với đường thẳng AC tại C.
Nờu cỏch xỏc định tõm I của đường trũn ( I ) và tõm J của đường trũn ( J ).
Cỏc đường trũn ( I ) và ( J ) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh tứ giỏc BNCA nội tiếp đường trũn .
Chứng minh rằng khi M di động trờn đoạn BC thỡ tổng cỏc bỏn kớnh của hai đường trũn ( I ) và ( J ) khụng đổi và đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định.	
Bài 5 (1,0 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = a3 + b3 biết a + b = a2 + b2 – ab .
------------------- Hết --------------------
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:
Giám thị số 1 (họ tên và kí):..
Giám thị số 2 (họ tên và kí):..
sở giáo dục - đào tạo
bắc giang
Đề chính thức
Đáp án - thang điểm 
đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên 
Năm học 2006-2007
Môn: Toán (đề chuyên)
(Đáp án – Thang điểm gồm 03 trang)
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1
2,00
a.
+ Với m = -1, phương trình có nghiệm x = - 2.
0,25
+ Với m ≠ -1, phương trình có nghiệm 
 D = (2m + 1)2 – 4(m+1)(m – 1) ≥ 0 4m + 5 ≥ 0 m ≥ 
0,5
+ Kết luận: m ≥ là các giá trị cần tìm.
0,25
b.
+ Với m ≥ , theo hệ thức Vi ét: 
0,25
+ Ta có x12 + x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = 
0,25
+ Theo bài ra x12 + x22 = 2006 ta được 2004m2 + 4008m + 2003 = 0
0,25
+ Kết luận: hai giá trị của m tìm được ở trên đều thoả mãn.
0,25
2
2,00
a.
A = 
0,25
A = 
0,25
A 
0,25
Kết luận: Vậy A = 2.
0,25
b.
+Giả sử a và b là 2 số nguyờn sao cho là nghiệm phương trỡnh x2 + ax + b = 0. 
+Ta cú 
0,25
+Biến đổi và rút gọn ta được:
 (*)
0,25
*Nhận xét là số vụ tỷ. Vỡ a và b là cỏc số nguyờn nờn 
4.2007 + 2a và 20072 + 4.2006 +a.2007 + b là cỏc số nguyờn.
0,25
*Nếu 4.2007 + 2a ạ 0 thỡ là số hữu tỷ.
Điều này vụ lý nờn 4.2007 + 2a = 0 hay a = -2.2007 = - 4014
Thay vào hệ thức (*) ta cú b = 20052 = 4 020 025.
Dễ thấy a = -4014 và b = 4 020 025 thỏa món điều kiện đề bài.
0,25
3
1,50
 Đặt z = . Ta cú: 
0,25
0,25
 Vỡ x, y, z đều lớn hơn 0 nờn:
0,50
+Vỡ (x - y)2 ³ 0, (y - z)2 ³ 0, (z - x)2 ³ 0 nên
0,25
+Kết luận: vậy x = y = 
0,25
4
3,50
a.
Vẽ đường thẳng d1 ^ AB tại B, đường trung trực của BM cắt d1 tại I.
0,50
Vẽ đường thẳng d2 ^ AC tại C, đường trung trực của CM cắt d2 tại J.
0,50
b.
-Xét trong đường tròn ( I ) có góc ABM = góc BNM = 450
0,25
- Tương tự ta có góc CNM = góc ACM = 450
0,25
- Từ đó suy ra góc BNC = góc BNM + góc CNM = 900
0,25
-Suy ra góc BAC + góc BNC = 1800 => tứ giác ABNC nội tiếp
0,25
c.
- Gọi K là giao điểm của BI và CJ. Học sinh chỉ ra tứ giác ABKC là hình vuông.
0,25
- Chỉ ra MJ // BK, MI // CK rồi suy ra tứ giác MIKJ là hình bình hành.
0,25
- Suy ra MI = KJ và MJ = CJ =>MI + MJ = CK = AB không đổi
0,25
- Gọi A1 là giao điểm thứ hai của đường thẳng MN với đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABNC, theo chứng minh trên ta có góc BNA1 = góc CNA1 = 450, suy ra A1 là điểm chính giữa của cung BC.
0,50
- Chỉ ra A cũng là điểm chính giữa của cung BC của đường tròn (O) suy ra A1 trùng với A và kết luận.
0,25
5
1,00
Ta có: a3 + b3 = (a + b) ( a2 + b2 – ab) = ( a + b)2.
0,25
Từ gt a + b = a2 + b2 – ab a + b = (a + b)2 – 3ab
Vì ab ≤ nên a + b ³ (a + b)2 - 
0,25
 (a + b)2 – 4ab ≤ 0 0 ≤ a + b ≤ 4
0,25
Suy ra P = ( a + b)2 ≤ 16. Dấu “=” xảy ra a = b = 2 thoả mãn gt
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 16 khi và chỉ khi a = b = 2.
0,25
Chú ý: *Trên đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. Học sinh giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm tối đa. Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó. (Nếu quá trình lập luận và biến đổi bước trước sai thì bước sau đúng cũng không cho điểm).
* Nếu học sinh dùng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm mà không chứng minh thì trừ 0,25 điểm ở bài đó.
A1