Đề thi tuyển sinh sau đại học môn Toán

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 19981
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (G, ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ ∼ trên G
bởi:
x ∼ y ⇐⇒ (∃g ∈ G, g−1xg = y).
Với mỗi x ∈ G, đặt Hx = {g ∈ G | g−1xg = x} và Ox = {g−1xg | g ∈
G}.
a) Chứng tỏ ∼ là một quan hệ tương đương trên G.
b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng
tỏ rằng O1G = {1G}, Hx là một nhóm con của G và |G| = |Hx| . |Ox| ,
với mọi x ∈ G.
c) Chứng tỏ nếu |G| = pn, với p là một số nguyên tố và n là số tự
nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g ∈ G sao cho gx = xg, ∀x ∈ G.
Câu 2. Giả sử Mn(R) là vành các ma trận vuông thực cấp n.
a) Chứng minh rằng, ma trận A là ước bên phải của 0 trong Mn(R)
khi và chỉ khi det(A) = 0.
b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của Mn(R) mà mọi phần
tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành
con của Mn(R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là ước bên phải của
không trong N .
c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái.
Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc
trường K. Hạng của A ký hiệu là rA, được định nghĩa là cấp cao nhất
của các định thức con khác 0 của A.
a) Chứng minh rằng, rA bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến
tính của A.
b) Cho hệ phương trình tuyến tính
A
x1...
xn
 =
b1...
bn
 , bi ∈ K (∗).
1Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.5
1
Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận được từ A bằng cách ghép thêm
cột
b1...
bn
 vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, (∗) có nghiệm khi và
chỉ khi rA = rB .
Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức
của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, Vn+1
là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không vượt quá n. Xét
ánh xạ:
ϕ : V −→ V
g 7−→ fg′ − gf ′
trong đó f ′, g′ là các đạo hàm của f, g tương ứng.
a) Chứng minh rằng, ϕ là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm kerϕ
và chứng tỏ rằng
ϕ(Vr+1) = ϕ(Vr).
b) Tìm dim(ϕ(Vr+1)).
2
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm
∞∑
n=1
1
n22n
(xn + x−n)
trên miền hội tụ đã được chỉ ra là
1
2
≤ |x| ≤ 2.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
∞∑
n=1
(
n
n+ 1
)n
2
xn.
Câu 2. Cho C[a,b] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
a) Đặt
d(x, y) = max
a≤t≤b
|x(t)− y(t)| , x, y ∈ C[a,b].
Chứng minh rằng, d là một metric trên C[a,b] và với metric d, C[a,b] là một
không gian đầy đủ.
b) Đặt
ρ(x, y) =
∫ b
a
|x(t)− y(t)| dt, x, y ∈ C[a,b].
Chứng minh rằng, ρ là một metric trên C[a,b] và với metric đó C[a,b] là
một không gian không đầy đủ.
Câu 3.
a) Đặt
C0[0, 1] = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0},
trong đó C[0,1] là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với
chuẩn "max". Chứng minh rằng, C0[0, 1] là không gian con đóng của
C[0,1] và
A : C0[0, 1] −→ C0[0, 1]
x 7−→ Ax
3
cho bởi
(Ax)(t) =
1
2
[x(t2) + tx(1)], t ∈ [0, 1]
là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính ‖A‖ .
b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X −→ Y là một toán
tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y∗ ∈ Y ∗, ta có y∗◦A ∈ X∗. Chứng minh
rằng, A ∈ L(X, Y ).
Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert.
a) Giả sử A ∈ L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng,∥∥A2∥∥ = ‖A‖2 , với A = A ◦A.
b) Cho (An)n∈N ⊂ L(H) thỏa mãn điều kiện
sup
n∈N
|〈Anx, y〉| < +∞
với mọi x, y ∈ H. Chứng minh rằng, sup
n∈N
‖A‖ < +∞.
4
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho n là một số nguyên dương với
n = pr11 ...p
rh
h
trong đó pi là các số nguyên tố và ri > 1. Cho G là một nhóm giao hoán
(với phần tử đơn vị e) có n phần tử. Giả sử tính chất (∗) sau đây được
thỏa mãn:
"Với mỗi ước số d của n, tập hợp {x ∈ G | xd = e} có nhiều nhất d
phần tử."
Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 ≤ i ≤ h, tồn tại ai ∈ G thỏa mãn ap
ri
i
i = e
và a
p
ri−1
i
i 6= e. Suy ra ai có bậc là prii .
Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt
R = {I | I là idean cực đại của A},
N =
⋂
I∈R
I.
Chứng tỏ:
a) Với mỗi idean I của A, I ∈ R khi và chỉ khi A/I là một trường.
b) N = {x ∈ A | ∀y ∈ A, ∃z ∈ A, (1 − xy)z = 1}.
c) Giả sử A có tính chất: ∀x ∈ A, ∃n > 1 thuộc N sao cho xn = x.
Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.
Câu 3. Cho A,B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào
trường K. Chứng tỏ:
rank(A) + rank(B)− n ≤ rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}.
Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên trường K có
đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với
mỗi không gian con U của E, đặt U⊥ = {x ∈ E | f(x, y) = 0, ∀y ∈ U};
U được gọi là hoàn toàn đẳng hướng nếu f(x, x) = 0, ∀x ∈ U. Không
5
gian con hoàn toàn đẳng hướng được gọi là cực đại nếu nó không chứa
trong một không gian hoàn toàn đẳng hướng khác.
a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng hướng khi
và chỉ khi U ⊂ U⊥.
b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng hướng. Chứng tỏ rằng
với mọi x ∈ U ∩ V , không gian con V +Kx là hoàn toàn đẳng hướng.
c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng hướng được
chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng hướng cực đại. Suy ra
các không gian con hoàn toàn đẳng hướng cực đại có cùng một số chiều.
6
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Ký hiệu GL(n,Rn) là nhóm nhân các ma trận thực không suy
biến cấp n. Chứng tỏ:
a) Tập hợp SL(n,Rn) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là
một nhóm con chuẩn tắc của GL(n,Rn).
b) ánh xạ
f : GL(n,Rn) −→ R∗
A 7−→ det(A)
từ nhóm GL(n,Rn) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu.
Suy ra nhóm thương GL(n,Rn)/SL(n,Rn) đẳng cấu với nhóm R∗.
Câu 2. Cho R = Zp[x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số
trong trường Zp các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét
f ∈ R với:
f = 1 + [xp−1 + (x+ 1)p−1 + ã ã ã+ (x+ p− 1)p−1].
a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Zp là nghiệm của phương trình
f(x) = 0. Do đó f = 0.
b) Suy ra công thức sau:
1k + ã ã ã+(p− 2)k +(p− 1)k ≡
{
0 mod(p) nếu k 6≡ 0 mod(p − 1),
−1 mod(p) nếu k ≡ 0 mod(p − 1).
Câu 3. Cho A,B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong trường
K. Chứng tỏ:
|rank(A)− rank(B)| ≤ rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B).
Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D được gọi là một
đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x0, với W là một không gian
vector con của V và x0 ∈ V, số chiều của W được gọi là số chiều của
D. Chứng tỏ rằng
7
a) Với x0, x1, . . . , xn là một hệ vector cho trước trong V thì tập hợp
D = {x = a0x0 + a1x1 + ã ã ã+ anxn | a0 + a1 + ã ã ã+ an = 1}
là một đa tạp tuyến tính của V chứa các vector x0, x1, . . . , xn.
b) Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính tương thích
n ẩn hạng r với hệ tử thuộc trường số thực R lập thành một đa tạp tuyến
tính có số chiều là n− r trong không gian vector Rn.
8
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1. Cho (X, d) là một không gian metric. Ta đặt
ρ(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x.y)
, x, y ∈ X.
Hãy chứng minh:
a) (X, ρ) là một không gian metric.
b) Không gian (X, ρ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ.
c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũng
là một tập compact trong (X, ρ).
Câu 2. Cho f ≥ 0 là hàm đo được trên tập A. Với mỗi n ∈ N ta đặt
fn(x) =
{
f(x) nếu f(x) < n
n nếu f(x) ≥ n.
Chứng minh lim
n→∞
∫
A fndà =
∫
A fdà.
Câu 3. Ký hiệu X = C[0,1] là không gian định chuẩn với chuẩn ”max ”.
a) Giả sử x ∈ X, với mỗi n ∈ N ta đặt
xn(t) = x(t
1+ 1
n ), ∀t ∈ [0, 1].
Chứng minh rằng, dãy (xn)n hội tụ về hàm x trong X.
b) Đặt A : X −→ X cho bởi công thức x 7−→ Ax, (Ax)(t) = x(0) −
tx(t), với mọi t ∈ [0, 1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính ‖A‖ .
Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f ∈ X∗, f 6= 0. Ký
hiệu α = inf{‖x‖ : x ∈ X, f(x) = 1}. Chứng minh rằng, ‖f‖ = 1
α
.
Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {en, n ∈ N} là một cơ sở
trực chuẩn của H.
Đặt A : H −→ H xác định bởi
∀x ∈ H, Ax =
∞∑
n=1
〈x, en+1〉 en.
Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm ‖A‖ và xác định toán tử
liên hợp A∗.
9
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây:
∞∑
n=1
ln(1+n)
nα
, α > 1.
2) Cho f : R −→ R là hàm số xác định bởi:
f =
 0, nếu x /∈ (0, 1],√n, nếu x ∈ ( 1
n+ 1
,
1
n
], với n ∈ N.
Tính
∫
R fdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue
trên R.
Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X −→ X là
một ánh xạ liên tục. Giả sử (Kn) là một dãy giảm các tập đóng không
rỗng của X.
Chứng minh rằng, f(
∞⋂
n=1
Kn) =
∞⋂
n=1
f(Kn).
Câu 3. Ký hiệu C[0,1] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên
[0, 1] với chuẩn ”max ”. Đặt
M = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}.
1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C[0,1].
2) Xét hàm số f : C[0,1] −→ R xác định bởi công thức f(x) =∫ 1
0 x
2(t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nhưng f không đạt
được giá trị bé nhất trên M.
Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X −→ R là
một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f ∈ X∗ khi và chỉ khi tập
M = {x ∈ X : f(x) ≥ 1} là một tập đóng trong X.
Câu 5. ChoH là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {en, : n ∈ N}
vàX là một không gian Banach. Giả sử A ∈ L(H,X) sao cho
∞∑
n=1
‖Aen‖2 <
10
+∞. Với mỗi n ∈ N, ta đặt An : H −→ X xác định bởi Anx =
n∑
k=1
〈x, ek〉Aek, ∀x ∈ H. Chứng tỏ rằng
a) Với mọi n ∈ N, An là một toán tử tuyến tính liên tục.
b) An −→ A trong không gian L(H,X) và từ đây suy ra A là một
toán tử compact.
11
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Cho G là tập tất cả các bộ số nguyên dạng (k1, k2, k3). Chứng
minh rằng,
a) G là một nhóm với phép toán
(k1, k2, k3).(l1, l2, l3) = (k1+(−1)k3l1, k2+l2, k3+l3), ∀k1, k2, k3, l1, l2, l3 ∈ Z.
b) Nhóm con cyclicH sinh bởi phần tử (1, 0, 0) là ước chuẩn tắc trong
G.
c) Nhóm thương G/H đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Gauss
Z[i] =
{
a+ bi | a, b ∈ Z, i2 = −1} .
Câu 2. Cho R là vành hữu hạn phần tử. Xác định các đồng cấu vành từ
R vào vành các số nguyên Z.
Câu 3. Cho n ∈ N (n ≥ 2) và K là một trường. Gọi Mn(K) là không
gian vector các ma trận vuông cấp n trên K. Ta định nghĩa vết của ma
trận vuông A ∈ Mn(K) (ký hiệu Tr(A)) là tổng các phần tử nằm trên
đường chéo chính của A. Chứng minh rằng,
a) Với mọi A ∈Mn(K), ánh xạ θA : Mn(K) −→ K xác định bởi
θA(X) = Tr(AX), ∀X ∈Mn(K)
là một phần tử của không gian đối ngẫu (Mn(K))∗.
b) ánh xạ
θ : Mn(K) −→ (Mn(K))∗
A 7−→ θA
là một đẳng cấu giữa các không gian vector.
Câu 4. Cho ϕ : V −→W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector
n-chiều V vào không gian vector m-chiều W. Chứng minh rằng,
a) Nếu U là một không gian vector con k-chiều của V sao cho U∩kerϕ
là không gian con p-chiều thì dimϕ(U) = k − p.
b) Nếu T là một không gian vector con của W sao cho T ∩ Im(ϕ) là
không gian con r-chiều thì dimϕ−1(T ) = n + r − rank(A).
12
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1.
a) Tồn tại hay không một thể (K,+,ì) có đặt số khác 2 sao cho các
nhóm con (K,+) và (K∗,ì), với K∗ = K \ {0} , đẳng cấu với nhau?
b) Cho A = Z[i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số
nguyên, và I là tập con của A gồm các số phức c + di, với c, d là bội
của 3. Chứng minh rằng, I là một idean của A và vành thương A/I là
một trường gồm 9 phần tử.
Câu 2. Cho G = R∗ ì R và ◦ là phép toán trong G xác định bởi
(x, y) ◦ (x′, y′) = (xx′, xy′ + y
x′
),
với R∗ = R \ {0} .
1. Chứng minh rằng, (G, ◦) là một nhóm. Chỉ ra nhóm tâm của G.
2. Chứng minh rằng, với bất kỳ k ∈ R, tập hợp
Hk =
{
(x, k(x − 1
x
)) : x ∈ R∗
}
là một nhóm con giao hoán của G.
Câu 3.
1. Cho A,B là các ma trận vuông cấp n với hệ tử trong trường K.
Chứng tỏ
rank(A) + rank(B)− n ≤ rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} .
2. Chứng minh rằng, công thức trên vẫn còn đúng khi A,B là các ma
trận chữ nhật với n là số cột của A và cũng là số hàng của B.
Câu 4. Cho f là một dạng song tuyến tính trên không gian vector
thực n-chiều V và U = {a1, a2, . . . , an} là một cơ sở của V. Gọi L là
không gian con của V sinh bởi a1, a2, . . . , ak (với 1 ≤ k < n) và đặt
L⊥ = {y ∈ V | f(x, y) = 0, ∀x ∈ L} .
13
1. Cho B là ma trận biểu diễn f theo cơ sở U . Chứng tỏ rằng,
nếu y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ V theo cơ sở U thì y ∈ L⊥ khi và chỉ khi
y1, y2, . . . , yn là nghiệm của hệ phương trình
A

y1
y2
...
yn
 = 0
với A ∈ Mkìn(R) là ma trận nhận được từ B bằng cách bỏ n − k hàng
cuối cùng của B.
2. f được gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một
cơ sở nào đó của V, là không suy biến. Chứng tỏ nếu f không suy biến
thì dimL⊥ = n − k.
14
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1.
1. Cho (xn)n là một dãy tăng, bị chặn trên và xn > 0 với mọi n ∈ N∗.
Chứng minh rằng, chuỗi số
∞∑
n=1
(1− xn
xn+1
) hội tụ.
2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa:
∞∑
n=1
x2n
2n−1 .
Câu 2. Cho (X, dX), (Y, dY ) là hai không gian metric, trong đó X
compact. Ký hiệu C(X, Y ) là tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Y.
1. Giả sử f, g ∈ C(X, Y ), đặt ϕ(x) = dY (f(x), g(x)). Chứng minh
rằng, ϕ(x) là một hàm liên tục trên X.
2. Với f, g ∈ C(X, Y ), đặt d(f, g) = max
x∈X
ϕ(x). Chứng minh rằng,
C(X, Y ) là một không gian metric. Hơn nữa, C(X, Y ) là không gian đầy
đủ khi và chỉ khi Y đầy đủ.
Bài 3. Cho X là một không gian metric đầy đủ và ϕ là ánh xạ liên tục
bị chặn từ X ì R vào R. Giả sử tồn tại λ ∈ (0, 1) sao cho
∀x ∈ X, ∀y1, y2 ∈ R : |ϕ(x, y1)− ϕ(x, y2)| ≤ λ |y1 − y2| .
Chứng minh rằng, tồn tại duy nhất một ánh xạ liên tục u từ X vào R sao
cho
u(x) = ϕ(x, u(x)), ∀x ∈ X.
Câu 4.
1. Cho X là một không gian định chuẩn và M là một tập con của X.
Giả sử với mọi f ∈ X∗ ta có sup
x∈M
|f(x)| < +∞. Chứng minh rằng, M là
một tập bị chặn trong X.
2. Cho X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn, (An)n
là một dãy toán tử tuyến tính liên tục trong không gian L(X, Y ). Chứng
minh rằng, nếu với mọi x ∈ X, (Anx)n là một dãy cơ bản trong Y thì
sup
n∈N∗
‖An‖ < +∞.
Câu 5. Cho {en, n ∈ N} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
H và (λn)n là một dãy số bị chặn.
15
1. Chứng minh rằng, với mọi x ∈ H, chuỗi
∞∑
n=1
λn 〈x, en〉 en hội tụ
trong H.
2. Đặt Ax =
∞∑
n=1
λn 〈x, en〉 en với mọi x ∈ H. Chứng minh rằng, A là
toán tử tuyến tính liên tục trên H. Tính ‖A‖ .
16
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003
Môn Giải Tích
Thời gian 180'
Câu 1. Cho A là một tập đo được và f, g : A −→ R là các hàm khả
tích trên A. Với mỗi n ∈ N ta đặt An = {x ∈ A | n ≤ |f(x)| < n + 1}
và Bn = {x ∈ A | |f(x)| ≥ n} . Chứng minh rằng
a) lim
n→∞
∫
An
gdà = 0,
b)
∞∑
n=1
nàAn < +∞,
c) lim
n→∞nàBn = 0.
Câu 2.
a) Cho A là một tập con trong không gian metric X và x ∈ X là một
điểm dính của A. Giả sử x /∈ A. Chứng minh A là một tập vô hạn. Suy
ra mọi tập con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng.
b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X −→ Y là một toán
ánh liên tục từ X lên Y. Cho A ⊂ X sao cho A = X. Chứng minh rằng
f(A) = Y.
Câu 3. Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các
giá trị của A.
a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định
chuẩn. Chứng minh rằng, nếu tồn tại số m > 0 sao cho ‖Ax‖ ≥ m ‖x‖
với mọi x ∈ X thì R(A) là một không gian con đóng của Y.
b) Giả sử X, Y là các không gian Banach và R(A) là tập đóng trong
Y. Chứng minh rằng, tồn tại số m > 0 sao cho với mỗi y ∈ R(A), tồn
tại x ∈ X để y = Ax và ‖y‖ ≥ m ‖x‖ .
Câu 4. Ký hiệu H là không gian Hilbert.
a) Giả sử A là không gian con 1-chiều của H và a là một phần tử
khác 0 của A. Chứng minh rằng, với mọi x ∈ H ta có
d(x,A⊥) = inf
{‖x− u‖ , u ∈ A⊥} = |〈x, a〉|‖a‖ .
b) Cho M ⊂ H sao cho không gian con sinh bởi M trù mật trong H.
Chứng minh rằng, nếu x ∈ H và x⊥M thì x = 0.
17
Câu 5. Giả sử {en} là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert
H, {λn} là một dãy số hội tụ đến 0. Chứng minh rằng, toán tử A xác
định bởi công thức
Ax =
∞∑
n=1
λn 〈x, en〉 en, x ∈ H
là một toán tử compact từ H vào H.
18
Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003
Môn Đại Số
Thời gian 180'
Câu 1. Xét nhóm nhân C∗ của trường C các số phức. Ký hiệu Gk là tập
các căn bậc pk của phần tử đơn vị của C (p là số nguyên tố và k là số
nguyên dương) và G =
∞⋃
k=1
Gk.
a) Chứng tỏ rằng G là một nhóm con cấp vô hạn không cyclic của C∗
và mọi nhóm con thực sự của G đều là nhóm con cyclic hữu hạn.
b) Trên G, xét hai phép toán ⊕, như sau:
∀x, y ∈ G, x⊕ y = xy, x  y = 0.
Chứng minh rằng, (G,⊕,) là một vành giao hoán, không chứa đơn vị
và không có idean tối đại.
Câu 2. Cho D là một miền nguyên với đơn vị e sao cho mỗi nhóm con
của nhóm cộng của D là một idean của D. Chứng minh rằng, D đẳng cấu
với vành Z các số nguyên hoặc D đẳng cấu với vành Zp các số nguyên
mod(p), với p là một số nguyên tố.
Câu 3. Xét không gian vector thực M(n,R) gồm các ma trận vuông
cấp n với hệ tử trên trường R các số thực. Ký hiệu S(n) là tập con các
ma trận đối xứng và A(n) là tập con các ma trận phản đối xứng của
M(n,R).
a) Chứng minh rằng, S(n) và A(n) là những không gian con của
M(n,R) và xác định số chiều của chúng.
b) Chứng tỏ M(n,R) = S(n) ⊕A(n).
Câu 4. Xét không gian vector Kn gồm các bộ n phần tử của trường K
(n là số nguyên dương). Chứng minh rằng,
a) Tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn,
hạng r với các hệ tử thuộc trường K lập thành một không gian con của
Kn có số chiều là d = n− r.
b) Với mọi không gian con W của Kn sao cho dimW = d, tồn tại
một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn, hạng r = n − d với hệ
tử thuộc K sao cho tập nghiệm trùng với không gian con đã cho./.
19