Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 Môn thi: Giải tích

bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:.....................................
Số báo danh:........................
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm :
∞∑
n=1
1
n lnn x
.
b. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm
∞∑
n=1
1
(x+ n)(x+ n+ 1)
trên miền (0;+∞).
c. Tính tích phân: ∫∫
D
(x2 + y2)dxdy
trong đó: D = {(x; y) ∈ R2/2ax 6 x2 + y2 6 2bx}, 0 < a < b.
Câu II. Cho X là tập gồm tất cả các tập con compact khác ∅ của R.
a. Với mọi x ∈ R, đặt d(x,A) = inf{|x − y| : y ∈ A}. Chứng minh rằng, với mọi
x ∈ R, A ∈ X , tồn tại x0 ∈ A sao cho |x− x0| = d(x,A).
b. Gọi d : X ìX → R là ánh xạ đ−ợc xác định nh− sau:
d(A,B) := inf{δ : A ⊂ Bδ, B ⊂ Aδ},
trong đó, Aδ = inf{x ∈ R : d(x,A) 6 δ}. Chứng minh rằng d là một metric trên X .
Câu III. Ký hiệu X = C[0,2] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 2] với
chuẩn:
‖x‖ = max{|x(t)| : t ∈ [0, 2]}
và không gian con Y = x ∈ X : x(0) = 0 của X .
Cho ánh xạ A : X → Y, x 7→ Ax xác định bởi:
Ax(t) =
t∫
0
x(s)ds; t ∈ [0, 2]
a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .
b. Tính ‖A‖. ánh xạ A có phải là một toàn ánh không ?
Câu IV. Cho không gian Hilbert phức H và tập hợp {φn|n ∈ N} ⊂ H thỏa mãn ‖φn‖ = 1
với mọi n ∈ N và sao cho với mọi f ∈ H , ta có:
‖f‖2 =
∞∑
n=1
|〈f, φn〉|2.
Chứng minh rằng:
a. {φn|n ∈ N} là một cơ sở trực chuẩn của H .
b. Dãy (φn)n∈N hội tụ yếu đến 0.
Created by Nguyễn Đình Hoàng Nhân - K15 LL&PPGDT
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:.....................................
Số báo danh:........................
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007
Môn thi: đại số
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
1. Cho x1, x2, . . . , xn là các vectơ khác không của một không gian vectơ và A là một phép
biến đổi tuyến tính của không gian vectơ đó sao cho:
Ax1 = x1, Axk = xk + xk−1, k = 2, 3, . . . , n.
Chứng minh rằng các vectơ x1, x2, . . . , xn độc lập tuyến tính.
2. Cho B là ma trận vuông cấp n xác định trên tr−ờng F sao cho Bk = 0, với k là một
số tự nhiên nào đó. Tìm (En −B)−1, trong đó En là ma trận vuông đơn vị cấp n.
3. Tính
(
0 1
−1 0
)2000
với
(
0 1
−1 0
)
là ma trận xác định trên tr−ờng F .
Câu II.
1. Cho ϕ và ψ là hai tự đồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều trên tr−ờng số
phức C sao cho ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Chứng minh rằng ϕ và ψ có chung một vectơ riêng.
2. Cho E là một không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều và (v1, v2, . . . , vn) là một hệ trực
chuẩn trong E. Chứng minh rằng nếu với mọi v ∈ E ta đều có:
|v|2 =
n∑
i=1
〈v, vi〉2
thì (v1, v2, . . . , vn) là một cơ sở của E.
Câu III. Cho G là một nhóm nhân hữu hạn sao cho G có một tự đẳng cấu ϕ thỏa
ϕ(a) 6= a,∀a 6= 1G. Chứng minh rằng:
1. Với mọi α ∈ G tồn tại g ∈ G sao cho α = g−1ϕ(g);
2. Nếu ϕ có cấp bằng 2, tức là ϕ 6= id và ϕ2 = id, thì ϕ(g) = g−1 với mọi g ∈ G
và G là một nhóm aben có cấp là một số lẻ.
Câu IV.
1. Cho R là một vành giao hoán với đơn vị 1 6= 0 và I là một iđêan của R. Chứng minh
rằng với mỗi a ∈ R, tập con J = {ax + I|x ∈ R} ⊂ R/I là một iđêan của R/I sinh
bởi a+ I ∈ R/I . Từ đó suy ra rằng khi I là iđêan tối đại của vành R thì mọi phần tử
khác không của R/I đều khả nghịch.
2. Chứng minh rằng tập hợp các số hữu tỷ dạng
m
n
với mẫu số là một số nguyên lẻ tạo
thành một miền nguyên chính.
Created by Nguyễn Đình Hoàng Nhân - K15 LL&PPGDT
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:.....................................
Số báo danh:........................
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
a. Chứng minh :
∞∑
n=1
1
(n+ 1)
√
n
< 2.
b. Tìm miền hội tụ và xét sự hội tụ đều trên miền đó của chuỗi
∞∑
n=0
x(1− x)n.
Câu II.
a. Xét dãy hàm số (fn)n∈N xác định bởi
fn(x) = e
−(x−n)2 , x ∈ R.
Chứng minh rằng dãy hàm (fn)n hội tụ điểm khắp nơi (trên R) nh−ng không hội tụ
theo độ đo Lebesgue trên R.
b. Cho không gian độ đo (X,A, à). Giả sử f : X → R sao cho cả f và f 2 đều khả tích
trên X . Chứng tỏ rằng nếu 1 6 p 6 2 thì |f |p khả tích trên X .
Câu III. ChoX là một không gian Banach và F là một tập con đóng của X có tính chất
sau: với mọi x ∈ X đều tồn tại một số  > 0 (phụ thuộc vào x) sao cho λx ∈ F,∀λ ∈ [0, ].
Chứng minh rằng F phải chứa một hình cầu mở B(x0, r) nào đó.
Câu IV. Chứng minh rằng:
f(x) =
0∫
−1
x(t)dt−
1∫
0
x(t)dt, x ∈ C[−1,1]
là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[−1,1] với chuẩn "max". Tính ‖f‖.
Câu V.
a. Giả sử H là không gian Hilbert, A : H → H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều
kiện:
〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉,∀x, y ∈ H.
Chứng minh rằng A liên tục.
b. Khi H là một không gian Hilbert phức, A ∈ L(H) và 〈Ax, x〉 = 0,∀x ∈ H .
Chứng minh rằng A = 0.
Created by Nguyễn Đình Hoàng Nhân - K15 LL&PPGDT
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:.....................................
Số báo danh:........................
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn thi: đại số
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
1. Cho G là một nhóm hữu hạn. Một phần tử x ∈ G đ−ợc gọi là không sinh nếu tính chất
sau đ−ợc thỏa mãn: với mọi tập con S của G, đẳng thức G = 〈S, x〉 kéo theo G = 〈S〉.
Một nhóm con thực sự K của G đ−ợc gọi là cực đại nếu không tồn tại nhóm con L
nào của G chứa K sao cho L 6= K,L 6= G. Đặt:
Φ(G) = {x ∈ G|x là không sinh}
M = {K ⊂ G|K là nhóm con cực đại của G}
Chứng tỏ rằng Φ(G) =
⋂
K∈M
K. Suy ra Φ(G) là một nhóm con của G.
2. Chứng minh rằng nếu G là nhóm chỉ có 2 nhóm con tầm th−ờng là {e} và G thì G là
xiclic hữu hạn cấp nguyên tố.
Câu II. Cho R là một vành có nhiều hơn một phần tử. Chứng minh các khẳng định sau:
1. Nếu R hữu hạn có đơn vị thì mọi phần tử của R không phải là −ớc của 0 đều khả
nghịch.
2. Nếu với mọi a ∈ R, a 6= 0, tồn tại duy nhất b ∈ R (phụ thuộc a) thỏa aba = a thì R là
một thể.
Câu III. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n trên tr−ờng số thực R có dạng:
α1 1 0 . . . 0
α2 0 1 . . . 0
. . . . . . .
αn−1 0 0 . . . 1
αn 0 0 . . . 0

1. Hãy chỉ ra một vectơ x ∈ Rn sao cho các vectơ x,Ax,A2x,An−1x độc lập tuyến tính.
2. Chứng minh rằng nếu ma trận A chéo hóa thành ma trận có β1, β2, . . . , βn trên đ−ờng
chéo chính thì tất cả các số β1, β2, . . . , βn đều khác nhau từng đôi một.
Câu IV. Gọi V n+1 là không gian vectơ các đa thức hệ số phức, bậc bé hơn hoặc bằng n. Xét
ánh xạ ϕ : V n+1 → V n+1 xác định bởi:
[ϕ(g)](x) = g(x+ 1)− g(x),∀g ∈ V n+1.
Chứng tỏ:
1. Hệ u0 = 1, u1(x) = x, u2(x) = x(x− 1), . . . , un(x) = x(x− 1) . . . (x− n + 1) là một
cơ sở của không gian vectơ V n+1.
2. ánh xạ ϕ là một tự đồng cấu tuyến tính. Xác định Im(ϕ) và Ker(ϕ).
Created by Nguyễn Đình Hoàng Nhân - K15 LL&PPGDT
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:.....................................
Số báo danh:........................
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I.
a. Cho dãy số thực (an)n mà chuỗi
∞∑
n=1
a2n hội tụ. Chứng minh các chuỗi sau đây cũng
hội tụ:
∞∑
n=1
an
n3/4
;
∞∑
n=1
(
an +
1
n
)2
.
b. Chứng minh rằng nếu hàm f(x, y) liên tục theo từng biến x, y và đơn điệu theo biến y
thì sẽ liên tục theo hai biến.
Câu II. Cho (X,F , à) là không gian độ đo, f là hàm đo đ−ợc và g là hàm khả tích trên
A ∈ F . Chứng minh rằng với α, β là hai số thực cho tr−ớc, nếu α 6 f 6 β hầu khắp A, thì
có một số thực γ ∈ [α, β] sao cho ∫
a
f |g|dà = γ
∫
A
|g|dà
Câu III. Cho (X, d) là không gian metric.
a. Giả sửK1, K2 là các tập con compact củaX . Chứng minh rằng tồn tại x1 ∈ K1, x2 ∈ K2
sao cho d(x1, x2) = d(K1, K2), với d(K1, K2) := inf{d(x, y)/x ∈ K1, y ∈ K2}.
b. Giả sử K là tập compact, F là tập đóng trong X sao cho K ∩ F = ∅. Chứng minh
rằng d(K,F ) > 0. Kết quả còn đúng không nếu thay K bằng tập đóng ?
c. Giả sử K là tập compact và F là tập đóng của X = Rk. Chứng minh rằng tồn tại
x ∈ K, y ∈ F sao cho d(x, y) = d(K,F ).
Câu IV. Giả sử L và M là hai không gian con tuyến tính đóng của không gian Banach X .
Chứng minh rằng nếu mỗi phần tử x ∈ X đều đ−ợc biểu diễn một cách duy nhất d−ới dạng:
x = y + z, x ∈ L, z ∈M thì tồn tại số K sao cho: ‖y‖+ ‖z‖ 6 K‖x‖,∀x ∈ X .
Câu V. Giả sử {en} là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H , {λn} là một
dãy số bị chặn. Chứng minh rằng:
a. Chuỗi
∞∑
n=1
λn〈x, en〉en hội tụ với mọi x ∈ H .
b. Toán tử Ax =
∞∑
n=1
λn〈x, en〉en, x ∈ H là toán tử tuyến tính liên tục và tính ‖A‖.
Created by Nguyễn Đình Hoàng Nhân - K15 LL&PPGDT
bộ giáo dục và đào tạo
đại học huế
Họ và tên thí sinh:.....................................
Số báo danh:........................
Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005
Môn thi: đại số
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180phút
Câu I. Cho G = 〈a〉 là một nhóm xiclic cấp n sinh bởi phần tử a và b = ak. Ký hiệu d là
−ớc chung lớn nhất của n và k. Chứng minh rằng:
a. Cấp của b bằng
n
d
và G = 〈b〉 khi và chỉ khi d = 1. Suy ra các phần tử sinh của G.
b. Nếu q là −ớc của n thì trong G tồn tại một nhóm con cấp q và nhóm con này là xiclic.
Câu II.
a. Cho Z là vành số nguyên và R là vành tùy ý với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng
ánh xạ
ϕ : Z→ R
m 7→ m.e
là một đồng cấu vành. Xác định ảnh Imϕ của đồng cấu ϕ.
b. Tìm ví dụ về một vành R có đơn vị e 6= 0 sao cho tồn tại phần tử x ∈ R thỏa điều
kiện Rx ⊂ xR và Rx 6= xR.
Câu III. Cho K là một tr−ờng và cho hai hệ ph−ơng trình tuyến tính thuần nhất theo n biến
x1, x2, . . . , xn:
AX = 0 (1)
BX = 0 (2)
với X =
 x1...
xn
, và A = (aij), B = (bij) là các ma trận m hàng, n cột có số hạng trong
K. Chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1) và nghiệm của hệ (2) là trùng nhau khi và chỉ khi tồn
tại ma trận không suy biến C ∈Mmìn(K) sao cho A = CB.
Câu IV. Với mỗi ma trận A, ta định nghĩa hạng của A là số các cột độc lập tuyến tính
của A, ký hiệu rA. Chứng minh rằng:
a. Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính của các không gian vectơ hữu hạn chiều trên
tr−ờng K có ma trân đối với cặp cơ sở của V và W là A thì rA =dim(Imf ).
b. Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp và C = A+B thì rC 6 rA + rB.
Created by Nguyễn Đình Hoàng Nhân - K15 LL&PPGDT