Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2008 môn Đại số

e0 crAo DUc vA DAo TAo
2
Hg ud t€n tht sinh:
Sd bd,o danh:DAI HOC HUE
Kv THr ruyiN srNH sAU D4r Hgc NAvr 2008
M6n thi: DAI 56
(ddnh cho Cao hq")
Thdi g'ian ld"m bd,i: 180 phrit
CAu I.
o,. Ky hieu M"(F) lA, khong gian vecto cd,c ma trAn vu6ng cdp n c6 he tri trong
trudng F. Ma trAn A - (o"i). e Mn(F) gqi lb d6i xfrng ndu aai : aji, v6i moi
i , j :1, . . . ,D. Chirng minh rXng tap tdt cA c6c ma trAn ddi x i rng trong A/ l . (F)
lb mot khong gian con crla M,(F). Tim mQt ccy sd vi tfnh sd chibu cria khong
gian con cl6.
b. Cho V vd14/ Id, hai khong gian vecto tr6n trudng /( vd W co sd chibu huu han.
Cho f , V -+ W lb mot toi,n cdu tuy6n tinh. Chirng minh rHng tbn tai m6t dnh
xa tuy6n tinh g : W ---+ V sao cho f g - idp1, v6i idry ld 5nh xa dbng nhdt crja
W. Anh xq g c6 duy nhdt khong?
CAu II.
a. Cht'rng minh rXng d6i vdi c6,c vect a r,, y, z bdt ky trong mqt khong gian vectcy
Euclid, d8ng tht'rc sau 1u6n xAy ra:
3 ( l " l ' + la l2 + l r l " ) - l r * a * r l , + l r - a l , + ly - r l , + l , - r l t .
b. C6 tbn tai hay khong hai ma tr5,n vu6ng A,B cdp n c6 he tri trong trulng tr
voi A khA nghich sao cho AB - BA: A?
Cdu III. Ki hieu R le trudng cd,c s6 thuc. Cho:
G- { ( : 1 , ) lo ,b€R,o>o} v i tH- { ( t b \ , ' , lt \o 
"-r) ta,b€1r{ ,o) J i . ( , ; ) lae re}
a. Chirng minh ring G le mOt nh6m vdi ph6p nhan ma trAn vd lI li mot nh6m
con chudn t6c cria G. Chi ra rXng nh6m thucrng G I H d8ng cdu vdi 
"f.O- lO"ut . t , tc5c s6 thuc IR.
b- Hay tim m6t nh6m con chudn tXc K ciaG chira -tr sao choK+Gv i t "K*U
CAU IV.
a' MOt mibn nguy6n ggi ld mibn nguyen chinh ndu moi idean crja n6 dbu 1A idean
chinh. Chirng t6 ring vA,nh cdc s6 nguy6n 2,, Ib, mibn nguy6n chfnh nhung vdnh
da thfrc V,ft] khong ph.Ai li mibn nguy6n chfnh.
b' Ky hieu Q["] Ib vdnh cdc da thirc co he tri trong trubng s6 huu ti e Cho p le,
mQt s6 nguy6n td. Chirng minh rXng cla thirc
A r ( r ) - 1 * r t . . . * rP -T
bdt khd quy trone Qlrl.
Ghi chri: crin b6 coi, thi khong gid"i thtch gi th€m.
Typeset by AlaS-Tlf,